3.3.4 两条平行直线间的距离优秀教案范文

3.3.3

3.3.4

点到直线的距离、两平行线间的距离

教学设计（一）教学目标1．知识与技能2．过程和方法3．情感和价值理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.会用点到直线距离公式求解两平行线距离.认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.（三）教学方法学导式教学环节

教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.教学内容

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离. 1．点到直线距离公式+ By + C = 0的距离为dA2B2师生互动

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？

设计意图

复习引入

设置情境导入新课

（1）教师提出问题点P (x0，y0)到直线l：Ax

已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + C

= 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？学生自由讨|Ax0By0C|论推导过程方案一：（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.通过这种转化，培养学生“化方法. 设点P到直线l的垂线段概念形成

为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为B(AA把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，归”的思想解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，

由A1x1By0C0Ax0By2C0得x1By0CAx0C,y2AB此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法. 所以|PR||x0x1|||PS||y0y2||Ax0By0C|AAx0By0C|B|RS|PR2PS2A2B2|Ax0By0C|由三角形面|AB|积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.所以d|Ax0By0C|AB22可证明，当A = 0时仍适用.这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高. 例1

求点P

= (–1，2 )到直线3x = 2的距离.

解：d学生分析求解，老师板书|3(1)2|320253来源学科网通过例2 解：设AB边上的高为h，则例2

已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.

这两道简单的例题，使学生能够进一步线的距离SVABC1|AB|h222|AB|(31)(13)22AB边上的高h就是点C到AB的对点到直应用举例

距离.AB边所在直线方程为即x + y

– 4 = 0.y3x11331理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 点C到x + y

– 4 = 0的距离为hh|104|5，121215因此，SABC225

22

2．两平行线间的距离d已知l1：Ax + By + C1 = 0 l2：Ax + By + C2 =

0 d|C1C2|AB22

教师提问：

能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？

学生交流后回答. . 再写出推理过程

证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，概念深化

则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为

d|Ax0By0C1|A2B2进一步培养学生化归转化的思想. 又Ax0 + By0 + C2 = 0 即Ax0 + By0= –C2，

∴d|C1C2|AB22

例3

求两平行线

l1：2x + 3y

– 8 = 0 l2：2x + 3y

– 10 =0的距离. 解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是

d|243010|22322开拓学生1313

在教师的引导下，学生分析思路，思维，培养应用举例

解法二：直接由公式

d|8(10)|2232213

13再由学生上台板书. 学生解题能力. 课堂练习：已知一直线被两平行线3x + 4y

– 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.

小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距归纳总结

离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式. 课后作业

布置作业

见习案3.3的第三课时

独立完成

培养学生老师和学生共同总结——交流—归纳、概括—完善

能力，构建知识网络. 巩固深化

备选例题

例1

求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y

– 1 = k(x + 2)即kx

–

y + 2k + 1 = 0. 由|k22k1|k12|3k2k1|k12，

1解得k = 0或k. 2故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点. 1若l∥AB且kAB，则l的方程为x + 2y = 0. 2若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y

– 1 = 0或x + 2y = 0. 例2

（1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程. （2）两平行直线3x + 4y

– 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C=0 由P点到两直线的距离相等，即

111622112|11C|22112，所以C = –38. 所求直线的方程为2x + 11y

– 38 = 0. （2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y

– 2 = 0的距离d1到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为d2所以d1 = d2即|C2|6282|C3|6282|C2|68682222，

|C3|

1. 2，所以C1即l的方程为：6x8y0. 2例3

等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y

– 6 = 0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程. 【解析】已知BC的斜率为2，因为BC⊥AC

333所以直线AC的斜率为，从而方程y2(x1)

22即3x

– 2y

– 7 = 0 又点A(1，–2)到直线BC：2x + 3y

– 6 = 0的距离为|AC|且|AC||BC|10131013，

. 2由于点B在直线2x + 3y

– 6 = 0上，可设B(a,2a)，

3

2|3a2(2a)7|103且点B到直线AC的距离为

22133(2)|13a11|10

31313633或

a1110或a1110，所以a3313136316324,)或B(,)

1313131324213(x1)

3113所以所以B(16213所以直线AB的方程为y2(x1)或y263113即x

– 5y

– 11 = 0或5x + y

– 3 = 0 所以AC的直线方程为：3x

– 2y

– 7 = 0 AB的直线方程为：x

– 5y

– 11 = 0或5x + y

– 3 = 0.