1.1.2 简单组合体的结构特征含PPT的教学设计及点评

“1.1.2柱、锥、台、球的结构特征”教学设计

安徽省定远中学 刘正清

一、教学内容解析：

《柱、锥、台、球的结构特征》人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）第一章第1节课，是学生在高中阶段接触立体几何的第一堂课。

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。

学生在初中阶段已经系统了学***面几何，空间几何是学生此的基础上，从二维平面向三维空间的一次拓展，具有承上的作用，同时,通过对柱，锥，台，球的结构特征的探究，能为各种组合体的结构特征探究做好铺垫，并以此为基础，进一步认识空间中点、线、面的位置关系，进行定量计算，具有启下的作用。

教学中，通过建立现实世界中的物体和空间几何体的对应关系，并从细节上认识空间几何体的结构特征，对培养学生数学建模、直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养具有重要意义。

二、教学目标设置：

1.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

3.提高学生的观察能力；培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。

三、教学重难点：

【教学重点】让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

【教学难点】柱、锥、台的结构特征的概括。

四、教学过程：

4.1 创设情境 数学建模

师：（PPT展示平面图1）同学们，大家认识这些图形吗？ 生（众）：认识，分别是三角形、长方形，梯形，圆。

师：很好，这些都是我们在初中所接触过的平面几何图形。我们说数学来源于生活，请大家发挥自己的想像，在我们的生活当中，哪些物体中能找到这些平面几何图形呢？

生1：篮球中能找到圆，箱子、讲台、高楼中能找到长方形，金字塔中能找到三角形。

（播放3D视频，欣赏世界上经典建筑，体验建筑之美）

（展示图2）

师：从古老的金字塔，到法国罗浮宫，这些建筑如此优美，会忍不住想去研究它们的结构。我们能够在这些优美建筑中找到上面PPT中的平面图2 图1 图3

几何图形，这些平面几何图形能不能代表这些建筑呢？比如，我们能不能说金字塔的形状就是一个三角形？ 生2：不能，因为平面几何图形是平面的，而建筑是立体的。

师：显然，四边形、三角形、圆是平面的，是二维的，而我们生活中的世界是空间的，是三维的，如果我们用二维的概念来描述三维的物体，必然会闹盲人摸象的笑话。对于三维物体的探究，我们势必引入一种新的几何体系。相对于我们用平面几何来研究平面图形，我们能不能赋予这个新的几何体系一个名称呢？

生（众）：空间几何。

师：空间几何在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。今天就让我们走进空间几何的世界，从另一个角度感受数学（PPT展示图3）。

师：观察下面的图片, 这些图片中的物体具有怎样的形状?我们该如何描述它们的形状? 生（众）：长方形、长方体、圆柱、球……

师：同学们都有各自的答案，如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么我们就可以将这些物体抽象出来（PPT展示图4）。

师：同学们是否认识这些图形，它们有什么共同点？

生（众）：它们都是立体的。

师：对，这些图形并不是平面的，而是立体的、

图4 空间的，像这样的空间图形就叫做空间几何体，接下来，让我们一起来探索其中的秘密。

4.2 师生互动 认识本质

师：老师这里有7个空间几何体，我想请7个小组派一位代表来做一个游戏。每位同学各自选取一个空间几何体，并成为各自手中几何体的代表。第一步，请7位同学分为两组，并说说你们的分组理由。

（第一次游戏分组非常顺利，7位学生很快分成了两组）

师：非常好，请问左边这组的同学，你们手中的空间几何体有什么共同特征呢？

生3：我们组都是方的，而他们组表面都有弧线。

生4：组成它们的每个面都是平面图形。

师：我们能不能为这种由若干个平面多边形围成的空间图形取一个名字？

生（全体）：平面体、多面型、多面体……

师：我听见有同学在说多面体，与我们书上的命名不谋而合，真是英雄所见略同。由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形称为面，相邻两个多边形的公共边称为棱，这些公共边的公共顶点称为顶点。

师：请右边组同学阐述一下，你们几个几何体有什么共同特点？

生5：表面都有弧线。

生6：它们的表面都是弯曲的，并不是平面。

师：很好，我们以此为依据进行分组。那么大家有没有想过，弧线是如何产生的呢？ 生7：这些模型都可以旋转。

师：是的这些模型都可以旋转，它们可以通过一个平面旋转得到。这种由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，如果我们为它们取一个名字的话……

生7:旋转体。

师：大家认同这个名称吗？

生（全体）：认同！

师：第二步，请7位同学分为4组。

（此次分组出现了意外，棱柱和棱台分在了一组，而圆柱与圆台分在了一组）

师：分好了吗？大家认同这样的分类？

（此时，上面的同学并不是非常确定，并产生了分歧，而下面的同学也有不同的意见，大家产生了激烈的争论，各抒己见，许多同学提出自己的想法与理由，最终所有同学的意见达成了一致，将棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台各分为一组，将球分为了一组，分组成功）

4.3小组合作 共探新知

师：在同学们的帮助下，我们最终分组成功。这四组模型，我们分别称为柱体、锥体、台体、球体。其中，柱体中的多面体，称之为棱柱；柱体中的旋转体，称之为圆柱。类似的，我们能为剩下的几个几何体命名吗？

生8：锥体中的多面体，可以叫棱锥，锥体中的旋转体，可以叫圆锥。

生9：台体中的多面体，可以叫棱台，台体中的旋转体，可以叫圆台。

师：很好，接下来让我们一起来探究一下其中棱柱、棱锥以及棱台。首先我们需要思考一下，我们可以从哪些角度去探究这些空间几何体？

生10：我觉得棱柱与棱柱之间也是不同的，有的棱柱边比较多，有的棱柱边比较少，有的是直的，有的是斜的，可对它们进行进一步的细分。

师：很有想法，我们可以从同一类多面的的不同之处入手，还有吗？

生11：我发现这些多面体其实是由点线面所构成的，我觉得我们可以从这方面入手，去寻找这些点线面之间的关系。

师：好的，空间几何体是三维的，然而三维物体是依托二维平面存在的，我们对于这些多面体的探究，完全可以从它们的点、线、面入手。将这个陌生的空间模型引入到我们熟悉的平面模型当中去探究。将陌生问题熟悉化，这不仅仅是我们对于空间几何这一内容的探究思路，也是我们数学学习的重要方法。接下来请大家结合手中的课本与模型,以小组为单位，进行为时10分钟的小组合作探究。由于时间的关系，我们进行分组探究，一、二组探究棱柱，三、四组探究棱锥，五、六组探究棱台。

4.4小组展示 分享所得

（小组展示一）

生12：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的交线互相平行的多面体就是棱柱。

师：我们第一小组给出了棱柱的定义，这个定义是如何得到的？

生12：是根据书本上的描述得到的。

师：查阅资料是一种非常好的探究手段，但这样描述有点繁琐，我可不可以这样说——有两个面平行且全等，其余各面都是平行四边形的多面体。

生12：应该可以吧? 生13：不可以，如果两个斜的棱柱拼在一起，得到的几何体两个面平行且全等，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱。

师：我们观察一下这个几何体(图5)，这是棱柱吗? 生（全体）：不是。

师：显然，“偷工减料”是失败的，定义的给出必须是严密的。

图5 生12：棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。另外，棱柱的底面按照三角形、四边形、五边形……，我们可以分别称分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……以上是我们小组的探究成果。

师：这位同学非常详细地向我们介绍了棱柱，还对棱柱进行了分类，其他同学还有补充吗？

生14：我们组认为，可以按侧棱与底面是否垂直进行区分，侧棱垂直于底面的称为直棱柱，侧棱不垂直于底面的称为斜棱柱,底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。 师：很好，人生就像几何在前进的道路上，我们要向棱柱一样，持之以恒，始终如一。

（小组展示二）

生15：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥。其中，多边形叫做底面；棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做侧面；相邻两侧面的公共边叫做侧棱；各侧面的公共顶点叫做顶点。棱锥可以用表示顶点和底面的字母来表示。另外，棱锥按照底面是三角形、四边形、五边形……我们可以分别分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……。

师：这位同学非常详细地为我们介绍了棱锥的相关知识，那么，我们否由正棱柱的概念出发，猜想怎样的棱锥称为正棱锥呢？

生15：底面是正多边形。

师：够了么？（展示几何画板）

生15：哦，还需要顶点在底面的射影是底面的中心。

师：完美的定义！人生就像几何在学习的道路上，我们要向棱锥一样，锐意进取，永不停

息。

（小组展示三）

生16：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱。棱台按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形。

师：非常详细的介绍，想一想这两个几何体是棱台吗？（图6）

生16：不是，第一个几何体四条侧棱并没有交与一点，显然不是由棱锥切得的，第二个切割平面与地面不平行。

师：我们要记住，棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥而成的，因此它的侧棱必然交于一点，并且上下两个底面互相平行且相似。还有需要补充的吗？

生16：还有人生感言，人生就像几何，在前进的道路上，我们要像棱台一样，一步一个台阶。（全班同学都会意地一笑）

师：这位同学抢了我的台词，但是他说得非常贴切！在我们的学习过程中，我们不仅要学得知识，更应在学习知识的过程中去感悟人生。

4.5总结反思 任务后延

师：最后我们一起来总结这节课有哪些收获？

生17：我们认识了空间几何体，并知道了的棱柱、棱锥、棱台的定义和分类，以及其中的点、线、面的名称。

生18：我觉得我们从二维平面中点线面的角度去研究空间几何体，对我们认识空间几何体很有帮助。

师：我们从平面几何出发认识了空间几何体，将我们对几何的认识从二维上升到了三维，同又从点、线、面的角度对棱柱、棱锥、棱台做了深入的探究，将三维空间模型降维成平面模型再去探究，空间问题平面化，陌生问题熟悉化，体现了我们对于空间几何探究的核心的思想方法。

师：课后请大家完成两个探究任务：

（1）我们在这节课探究了棱柱、棱锥以及棱台三个多面体，那么圆柱、圆锥、圆台以及球这几个旋转体又有怎样的结构特征呢？留待大家课后探究。

（2）我们从平面中引出了空间几何体，又从平面的角度去研究空间几何体。事实上在我们前面所看的照片中的建筑是展现在平面当中的，而我们却可以感觉到这是一个立体的模型，那么如何将一个空间几何体精确、直观地展现在平面中呢？请大家思考。

图6