4.3.2 空间两点间的距离公式课时教案

空间两点的距离公式

学情分析

我的两个班学***较为基础，本节课有平面的点的距离为引子。平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 三维目标

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、勇于探索的精神. 重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式掌握和应运。

教学难点:空间两点间的距离公式的推导思想。

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路2.初中学过数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=(x2x1)(y2y1).类比得到,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？从而引发认知冲突，进一步认真思考。师生一起推导出公式？因此我们学习空间两点间的距离公式.

新知探究

复习旧知

①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？

⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离22

公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导. 讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),它是利用直角三角形和勾股定理来推导的. 22

图1 ②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=xyz. ③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算. ④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1)(z2z1),即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广. 22222222

图2 ⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=(x2x1)(y2y1). 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=22(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点222|P1P2|=|P1H|2|HP2|2=P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=(x1x2)(y1y2)(z1z2).

于是空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1)(z2z1).它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根. 例题讲解

例1

已知M(3,3,1),N(1,0,5),求：

(1)线段MN的中点坐标和长度；

(2)到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件. 课堂活动：学生审题,思考。教师根据学生的发完来引导学生分析解题思路,已知的两点A、B都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误. 解:(1)设Q(x,y,z)是线段MN的中点,则根据中点坐标公式得

x=22231303513=2,y==,z==3.所以MN的中点坐标为(2,,3). 22222222根据两点间距离公式,得

d=(13)(03)(51)所以MB的长度为29. (2)因为点P(x,y,z)到M,N的距离相等, 所以有下面等式：

29, (x3)2(y3)2(z1)2(x1)2(y0)2(z5)2. 化简得4x+6y-8z+7=0, 因此,到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.

变式训练

在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等. 解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|, (01)2(00)2(z2)2(01)2(03)2(03)2(z1)2, 整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3). 例2

证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形. 活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定. 证明：由两点间距离公式得：

|AB|=(74)(13)(21)27,

|BC|=(57)(21)(32)|CA|=(45)(32)(13)2222222226, 6. 由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC是一等腰三角形

变式训练

三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形. 活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定. 解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以

|AB|=(11)(21)(31)=3, |BC|=(01)(01)(51)32, |CA|=(10)(20)(35)=3. 又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形. 例3

已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为(

) A.0

B.2222222225835

C.

D.

777活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=(x1)(32x)(3x3)

=14x32x19

=14(x)2222872535. 77当x=835时,|AB|的最小值为. 77故正确选项为B. 答案：B 点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法. 课堂训练，分组完成

四组分别完成课本本节练习1、2、3、4.

课堂小结(学生总结)

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式. 数学思想方法

类比思想，特殊到一般。

作业

精讲精练和小册子

设计思路

通过复习以前学过的数轴上的两点距离和平面内两点间的距离公式，创设问题情景,把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题贯穿始终,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.这节课内容较为简单，结合最近几年高考中的考察多为基础点，加之我的两个半学***较为一般，故本节课多采用学生自己动手做和说。