探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积教案设计

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教材、学情分析及教学设计

集宁一中 王翠

【教材分析：】

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2003人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过疑探导练法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理产生浓厚的兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。

【学情分析：】

学习本节内容学生已经进入高二下学期了，高中内容已全部学完，进入了一轮复习阶段，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强的计算能力和逻辑推理能力，综合知识较强。在将近二年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。在本节课的学习中，通过实物展示、动画演示等一系列比较形象直观的过程，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到证明这一系列的过程。可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。

【课型]】新授课

【教学目标】

1.知识与技能：帮助学生理解祖暅原理和运用祖暅原理解决问题；

让学生从直观上把握相关几何体体积之间的关系. 2.过程与方法：利用疑探导练法进一步培养学生提出、分析、解决问题的能力。

3.情感态度价值观：不直接呈现内容，设置悬念、设置问题、通过合探、解决问题，拓展延伸知识面，激发学生学习兴趣与求知欲望。

【教学重点】理解祖暅原理和柱体、锥体、球体体积公式的推导过程。

【教学难点】把握相关几何体体积之间的关系。

【教学过程】

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一．情景导入.1.介绍提出祖暅原理的历史人物

2.细致分析祖暅原理，并强调应用时的细节

祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县（今河北省涞源县）人，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等. 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个屏幕的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.

这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体（图2），将她改变一下形状，这个几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积. 祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述结论. 强调：两几何体高一样被平行于底面的任意平面所截截面的面积总相等

二、柱体的体积

下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式. 设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使他们的下底面在同一平面内（图3）.根据祖暅原理，可知它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是我们得到柱体的体积公式V柱体Sh

其中S是柱体的底面积，h是柱体的高. 图3

三、锥体与球体的体积（利用疑探导练法）

【一】.设疑自探：自探一.探索锥体的体积公式

自探二.探索球体的体积公式

要求：结合所学知识，独立思考；有不会的知识点标注，合探时一并解决

【二】解疑合探：

1.小组讨论：要求：

（1）请各位同学积极把你的观点在组内展示，小组长要认真组织，确保人人参与热烈讨论。

（2）请汇集全组智慧，找出最能代表你们聪明才智的答案，并认真做好结论的归纳升华。

（3）注意展示点评任务，展示人书写要迅速。

2.学生展示：锥体与球体体积公式的推导

3.学生点评：其他学生有疑问可以提出来，如果学生不能解决，由老师解决

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题 号方

式

自探一

自探二

板书

板书 展示分工

点评分工

第五组

第一组

王浩楠

刘智胜

展示要求：

1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记

录，

认真纠错，及时提问、补充和变式训练. 点评要求：

1.语言简练，声音洪亮

,不能挡住学生看黑板的视线；

2.先打分，说明扣分原因，要脱稿，面向全体同学；

3.重点强调解题思路和关键或提出新的方法

【三】质疑再探

请对照学习目标，有哪些疑问可以提出来，我们共同解决。

【四】运用拓展

1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为___.

2.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，一个焦点为 5，0。直线y=0和直线y=3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为____。

以上问题由学生解决，老师可以适当提示并补充。

最后，总结本节课内容，重点，难点！学科班长总结本节课同学们的表现！

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