3.4 生活中的优化问题举例教学实录及点评

生活中的优化问题举例

黄陂三中

喻佑华

【教学目标】

1．会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；

2．提高将实际问题转化为数学问题的能力。

【教学重难点】

1．利用导数解决生活中的一些优化问题。

2．理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、情景导入、展示目标

教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数。根据你的生活经验，思考下面两个问题：

（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？

通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。

三、合作探究、精讲点拨

（1）提出概念

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具。这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

（2）引导探究

例1：海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1．4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

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探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

[背景知识]某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是 mL的饮料，制造商可获利 0.2 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

例3．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域。

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

探究3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？

由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评。

四、反馈测评

练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

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变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

五、课堂总结

导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1．与几何有关的最值问题；

2．与物理学有关的最值问题；

3．与利润及其成本有关的最值问题；

4．效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

【作业布置】

发导学案、布置预习。

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