复习参考题教案推荐

第一课时

教学内容

三维目标

1.1.1命题及其关系

1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。

3．会用反证法证明简单的数学问题

1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；

3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

教学重点

教学难点

教学方法

四种命题之间的关系和命题真假的判断.

反证法的逻辑依据

启发引导，分析讲解，练习领会。

【师】在我们日常交往、学习和工作中，逻辑用语是必不可少的工具。复习

源:Zxxk.Com]

[来源:Z§xx§k.Com]

正确使用逻辑用语是现代社会公民应具备的基本素质。

来数学是一门逻辑性很强的学科，表述数学概念和结论、进行推理和论证，来引入源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

都要使用逻辑用语。学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容。那么常用的逻辑用语有哪些呢？点题，板书课题。

教学过程

1．思考：

下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？

新

课

学

习

①

若xy1，则x,y互为倒数；

②

相似三角形的周长相等；

③245

④如果b1，那么方程x2bxbb0有实根；

⑤若A22BB，则BA；

⑥3不能被2整除；

【生】这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。其中语句①④⑥判断为真，语句②③⑤判断为。

2．命题的概念

【师】板书

一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为正确的命题叫做真命题，判断为不正确的命题叫做假命题。

上述命题中①④⑥为真命题，②③⑤为假命题；

练习反馈

课堂小结

作业布置

习题调配

学生作课本第4页练习和第8页习题1.1A组第1题

1．命题的概念；2．命题的条件和结论。

1.

预习四种命题和四种命题间的相互关系两节。

2.

完成“精讲精练”第二页随堂演练1-5

课本第四页练习1~3，练习册51页1~9，大册子例2，例3及变式

第二课时

教学内容

1.1.2四种命题；1.1.3四种命题间的相互关系

1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。

3．会用反证法证明简单的数学问题

三维目标

1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；

3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

教学重点

教学难点

教学方法

四种命题之间的关系和命题真假的判断.

反证法的逻辑依据

启发引导，分析讲解，练习领会。

复习引入

【师】昨天，我们学习了命题、条件、结论的概念和命题的形式。谁能说一说什么叫命题、命题的条件和结论吗？

【生】略

【师】判断下列命题的真假，你能发现各命题的条件和结论之间有什么关系吗？

①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；

②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；

③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；

④如果两个三角形不相等，那么它们不全等；

【生】命题①④为真，②③为假；①与②、③与④条件和结论互逆，①与③、②与④条件和结论互否。

【师】当两个命题之间有了这样的关系后，我们怎样区分这些命题呢？点题，板书课题。

教学过程

1．原命题与逆命题

在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题. 2．否命题与逆否命题

在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定新

课

学

习

和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题. 常见的命题的否定形式有

原语是

句

否定不是

形式

不都是



至少有都是



至多有一个

至少有两个

对任意的xA，使Px真

存在xA，使Px假

一个

一个也没有

否定就是唱对台戏，甲说东，乙说西，就是互斥。你说对，我说就是不

对。

如：“三角形有两条相等的边”的否定是“三角形没有两条相等的边”而不是“三角形有两条不相等的边”。

3．原命题与逆否命题

在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.

关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：（原命题为：若p，则q）

⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（逆命题为：若q，则p）

⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（否命题为：若非p，则非q）

⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题. （逆否命题为：若非q，则非p）

4．四种命题之间的关系：

如右图所示

三．练习领会

1．学生口答例4 【例4】写出命题“若a0,则ab0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

解：原命题：若a0,则ab0是真命题；

逆命题：若ab0，则a0是假命题；

否命题：若a0，则ab0”是假命题；

逆否命题：若ab0，则a0”是真命题；

说明：原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.

2．学生完成例5 【例5】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。

（1）两个全等的三角形的三边对应相等；

（2）四边相等的四边形是正方形；

（3）负数的平方是正数；

（4）在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

分析：关键是找出原命题的条件p和结论q. 解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）

逆命题：若两个三角形的三边对应相，则这两个三角形全等；（真）

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真）

逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真）

（2）原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形；（假）

逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真）

否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形；（真）

逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；（假）

(3)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. 另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；（真）

逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；（假）

否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；（假）

逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方. （真）

3．学生完成例6

【例6】设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假. 分析：“当c0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc. 解：逆命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题；

否命题：当c0时，若ab，则acbc.它是真命题；

逆否命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题.

说明：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.

学生作课本第6页练习和下列练习

补充练习：

1．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）

A．两直线平行，内错角相等 B．两直线不平行，则内错角不相等

C．内错角不相等，则两直线不平行 D．内错角不相等，则两直线平行

练习反馈

a1”的逆否命题为（ ）

baaA．若1，则ab B．若ab，则1

bbaC．若ab，则ba D．若1，则ab

b223．写出“若xy0，则x0且y0”的逆否命2．命题“若ab，则题：

；

4．把下列命题写成“若p则q”的形式，并判断其真假. (1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧

（5）写出命题“若a和b都是偶数，则ab是偶数”的否命题和逆否命

题．

（6）判断命题“若xy5，则x2或y3”的真假．

1．四种命题的概念；

课堂

小结

2．四种命题间的关系。

3．互为逆否命题的真假关系。

作业布置

练习调配

课本第8页习题1.1A组第2、3题

课本第6页，习题1.1A组1.4. 练习册“精讲精练”3-4页例1，例2，例3及

变式训练1,2,3，随堂演练1-5.，巩固训练52页

第三课时

教学内容

反证法

1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。

3．会用反证法证明简单的数学问题

三维目标

1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；

3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

教学重点

四种命题之间的关系和命题真假的判断.

教学难点

反证法的逻辑依据

教学方法

启发引导，分析讲解，练习领会。

复习引入

【师】昨天，我们学习了四种命题和四种命题间的关系。那么，四种命题是哪四种？它们间的关系如何呢？

教学过程

【生】略

【师】知道了四种命题间的关系有什么用途呢？

【生】略

【师】下面我们来学习四种命题之间关系的应用。

1．反证法的逻辑依据

【师生互动】

【例7】证明：若x,yR，且x2y20，则xy0。

分析：对于该命题的证明，从正面着手：

∵x,yR

∴x20,y20

又∵x2y20，

∴x0且y0，即xy0

直接证明也可以。但总给人一种说理不是那么很得劲，美中不足的感觉。如果采用了证明方法：

假设x,y不全为0，不妨设x0，则

∵x20

∴x2y20

新课学习

这与已知的x2y20矛盾，故xy0。

就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。

【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若p则q”的形式表述出来再看看合原来要证明的命题是什么关系吗？

【生】后面要证明的命题写成“若p则q”的形式是：“若x,y不全为0，则x2y20”原命题写成“若p则q”的形式是：“若x2y20，则xy0”。

它们两者之间互为逆否命题，真假一致。

【师】像这样的证明方法我们把它叫做反证法。

2．反证法的概念

通过否定命题的结论而导出矛盾（可以是与原命题条件矛盾，也可以是与定义、定理、性质矛盾）来达到肯定命题的结论的一种数学证明方法. 关于反证法，实际上我们在初中学***行线时，就早已遇到过了. 我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.

我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 已知：如图，AB∥EF，CD∥EF，求证：AB∥CD. 证明：假设AB不平行于CD，即ABCDP，则

∵AB∥EF，CD∥EF，

于是经过点P就将有两条直线AB和CD都与EF平行，根据平行公理，这是不可能的. ∴AB与CD不能相交，只能平行. 3．反证法的主要步骤

仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定——推理——否定——肯定，四个步骤，即

⑴否定结论——假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；

⑵推出矛盾——由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；

⑶否定假设——由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；

⑷肯定结论——由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立. 在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：

①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；

②推出与已知条件相矛盾的结论；

③

推出与“暂时假设”相矛盾的结论；

④在证明过程中，推出自相矛盾的结论. 三．练习领会

学生作下列各题

【例8】用反证法证明：如果ab0，那么ab. 证明：假设a不大于b，则或者ab，或者ab.

∵a0,b0，

∴当abaa

∴ab. 【例9】若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除. 证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2k1 (k为整数),由此得

a22k124k24k14kk11, 此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除. 练习反馈

学生做课本第8页练习

本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法课堂—先假设论题A的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾小结

的结果，从而说明A的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然A的反面是谬误的，那么论题A就一定是正确的，至此，论题得证.

作业布置

练习调配

课本第8页习题1.1A组第4题，B组第1题

习题1.1A组4. B组第一题，练习册“精讲精练”3-4页例1，例2，例3及变式训练1,2,3，随堂演练1-5.，巩固训练52页

第四课时

教学内容

1.2 充分条件与必要条件（一）

1.2.1充分条件与必要条件；1.2.2充要条件

1．理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；

2．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．

三维目标

通过师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

教学重点

教学难点

教学方法

充分不必要条件、必要不充分条件的概念.

理解充分条件、必要条件的判断方法．

启发引导，分析讲解，练习领会。

【师】前面，我们学习了命题的有关概念和它的真假判断方法，知道了互为逆否的两个命题的真假是一致的。如果原命题的真假不好判断，就可以改判它的逆否命题的真假。请判断下列命题的真假：

①若ab，则acbc；

②若ab，则acbc；

复习

引入

③若x0，则x20；

④若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

【生】上述命题中②③④为真命题，①为假命题；

【师】那么，对于“若p则q”形式的命题，如果它们真或假，在逻辑学中怎样表示呢，点题，板书课题。

1．推断符号“”的含义：

教学过程

例如命题②③④为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立．此时可记作“pq”．

又例如命题①为假，由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p．

q”用推断符号“”写出下列命题：

新课

学习

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x20；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

2．充分条件与必要条件

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件．

由上述定义中，“pq”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为

什么呢？

应注意条件和结论是相对而言的，由“pq”等价命题是“qp”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了．但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x20；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

3．充要条件：

如果既有pq，又有qp，就记作pq。我们就说，p和q互为的充要条件。

说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”.

⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”. 4.充要条件的判断方法：

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：

⑴确定条件是什么，结论是什么；

⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；

⑶确定条件是结论的什么条件. ⑷充要性包含：充分性pq，必要性qp这两个方面，缺一不可。

三．练习领会

师生共同解答下列各例

【例1】．指出下列命题中，p是q的什么条件? ⑴p：x10，q：x1x20；

⑵p：两直线平行，q：内错角相等；

⑶p：ab，q：a2b2；

⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

解：⑴因为x10(x1)(x2)0，但(x1)(x2)0x10，所以p是q的充分不必要条件. ⑵因为，两条直线平行内错角相等，所以p是q的充要条件；

2222⑶因为，abab，但abab，所以：p是q的既不充分条件又不必要条件。

⑷因为，四边形是正四边形四边形的四条边相等，但四边形的四条边相等四边形是正四边形。所以：p是q的必要不充分条件。

说明：1．以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. ①AB,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；

②BA, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；

2．由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：

⑴充分不必要条件，即pq，而qp；

⑵必要不充分条件，即pq，而pq；

⑶既充分又必要条件，既pq，又有qp；

⑷既不充分也不必要条件，即pq，又有qp．

【例2】填空：⑴“abc”是“abbcca0”的

充分不必要

条件．

⑵若a、b都是实数，从①ab0；②ab0；③ab0；④ab0；⑤a2b20；⑥a2b20中选出使a,b不都为0的充分条件是

①②⑤ ．

【例3】若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？

分析：命题的充分必要性具有传递性

解：由题意可知：MNPQ

显然M是Q的充分不必要条件

【例4】已知Axx36，Bxxa,aN。当a为何值时，①A是B的充分而不必要条件；②A是B的必要而不充分条件；③A是B的充要条件. 练习

反馈

课堂

小结

作业布置

练习调配

学生作课本第10页练习和第12页练习

1．充分条件和必要条件的概念理解；

2．充分条件和必要条件的判断．

课本第12页习题1.2A组第2、3、4题

课本第10页练习1-4，课本第12页练习1,2，习题1.2A组第1题。“精讲精练”例1，例2及变式训练1,2，随堂演练1-5，巩固训练53页1-9



教学内容

三维目标

1.2 充分条件与必要条件（二）

充要条件的证明

第五课时

1．理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；

2．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．

通过师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

教学重点

教学难点

教学方法

教

学

过

程

充分不必要条件、必要不充分条件的概念.

理解充分条件、必要条件的判断方法．

启发引导，分析讲解，练习领会。

复习

引入

【师】昨天，我们学习了充分条件、必要条件、充要条件的概念和判断。谁能说一说什么叫充分条件、必要条件和充要条件的概念吗？

【生】略

【师】判断充要条件的方法具体有哪三种？

【生】①定义法；②命题法；③集合法；

【学生活动】填空，并说明理由：

⒈“a和b都是偶数”是“ab也是偶数”的

充分

条件；

⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的

必要

条件；

⒊“x3”是“x3”的

充分

条件；

⒋“x1”是“x210”的

充分

条件；

⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的

充分

条件；

⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；

⒎对于一元二次方程ax2bxc0（abc0）来说，“b24ac0”是“这个方程有两个正根”的

必要

条件；

⒏“a2,b3”是“ab5”的

充分

条件；

⒐“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分

条件

【师】当我们要证明p是q的充分条件、必要条件、充要条件时，我们该怎样去做呢？点题，板书课题。

新

课

学

习

【例5】求关于x的一元二次不等式ax21ax于一切实数x都成立的充要条件。

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化

a0解：由题可知等价于a0或a0a0或0a40a4

0【例6】求证实系数一元二次方程x2pxq0有两个异号根的充要条件是q0.。

分析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。

证明：（1）充分性: ∵q0

∴方程x2pxq0的p24q0

∴方程xpxq0有两个不相等的实根，设其为x1，x2

∵x1x2q0

∴方程x2pxq0有两个异号实根

（2）必要性

∵方程x2pxq0有两个异号实根，设其为x1，x2

∴x1x20 ∵x1x2q ∴q0

由（1）（2）原命题得证。

说明：注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；

(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化. 【例7】证明：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件

证明：必要性：对于x、yR，如果x2y20

则x0，y0

即xy0

故xy0是x2y20的必要条件

不充分性：对于x、yR，如果xy0，如x0，y1，此时x2y20

2

故xy0是x2y20的不充分条件

综上所述：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

练习

反馈

【学生板演】

ab1的充要条件是：a3b3aba2b20．1．已知ab0，求证：

证明：充分性

∵ab0

13∴aabbabb20

24222又∵a3b3aba2b20ab1a2abb20

∴ab1

必要性

∵ab1

∴a3b3aba2b2ab1a2abb20

综上所述，ab0，ab1的充要条件是a3b3aba2b20

2．证明：在ABC中，AB的充要条件是sinAsinB。

证明：充分性，

∵sinAsinB

∴2RsinA2RsinB即ab，AB

必要性，

∵AB

∴ab即2RsinA2RsinB亦即sinAsinB

综上所述，在ABC中，AB的充要条件是sinAsinB。

3．证明：在ABC中，ABC是正三角形的充要条件是a2b2c2abbcac，这里a,b,c是三角形的边。

证明：充分性，

∵a2b2c2abbcac1ab2bc2ac20

2∴abc即ABC是正三角形

必要性，

∵ABC是正三角形

∴abc

∵a2b2c23a2,abbcaca2a2a23a2

∴a2b2c2abbcac

综上所述，在ABC中，ABC是正三角形的充要条件是a2b2c2abbcac

证明二：充分性，

∵a2b2c2abbcac，当且仅当abc时取“=”, 即ABC是正三角形

必要性,同证明一。 综上所述，在ABC中，ABC是正三角形的充要条件是a2b2c2abbcac

课堂

小结

作业

布置

习题

调配

充要条件的证明必须是双向的。

课本第12页习题1.1B组第1、2题

学生作课本第12页习题1.2A组第4题；“精讲精练”例3及变式训练3，巩固训练53页第7题

第六课时

教学内容

三维目标

1.3 简单的逻辑联结词

1．了解含有“且”“或”“非”的命题的含义；

2．理解由“且”“或”“非”构成的复合命题与集合的“交”“并”“补”之间的关系。

1．通过学习常用逻辑用语的基础知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用。

2．通过学习，体会从特殊到一般的探究性学习方法。三、情感态度与价值

通过本节课的学习，体会探索的乐趣，培养学生创新意识，提高学生的逻辑判断

能力和逻辑思维能力。

教学重点

教学难点

教学方法

通过实例，使学生了解含有“且”“或”“非”的命题的含义，能正确的表述相关的数学内容.

复合命题的真假判断，正确的用“且”“或”“非”表述新命题。

启发引导，分析讲解，练习领会。

复习

引入

【师】复习提问充分条件、必要条件、充要条件的概念和判断方法并举例之后，让学生思考

问题一：下列三个命题之间什么关系

（1）12能被3整除；

（2）12能被4整除；

（3）12能被3整除且能被4整除。

教

学

过

程

问题二：下列三个命题之间什么关系

（1）27是7的倍数；

（2）27是9的倍数；

（3）27是7的倍数或是9的倍数。

问题三：下列两个命题之间什么关系

（1）35能被5整除；

（2）35不能被5整除。

【生】问题一中的（3）是（1）（2）之间用词“且”联结起来的；问题二中的（3）是（1）（2）之间用词“或”联结起来的；问题三中的（2）是（1）的否定。

【师】像“且”“或”等词在逻辑学中叫什么，数学中这样的词有哪些？点题，板书课题。

1．逻辑联结词：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词（logical 新

课

学

习

connectives）．

不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题．（了解）

我们常用小写拉丁字母p,q,r,表示命题．

问题一中的命题（3）的构成形式为：p且q；记做pq

问题二中的命题（3）的构成形式为：p或q；记做pq

问题三中的命题（2）构成形式为：非p．记做p。

2．“且”“或”

“非”的含义（通过学生讨论总结如下）

“且”——表示“既…又…”，二者要“兼备”。我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义，若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真假，则整个电路的接通与断开分别对应命题pq的真与假（图略）。

“或”——表示“可以是…也可以是…”。

我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义，若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真假，则整个电路的接通与断开分别对应命题pq的真与假（图略）。

“非”——

表示“对一个命题的全盘否定”

3．“且”“或”“非”与“交”“并”“补”之间的关系

①对“且”的理解：“且”的含义可以联想到交集的概念．，“xB”ABx|xA且xB，AB中的“且”是指“xA”两个条件都要满足的意思．

②对“或”的理解：逻辑联结词的“或”与一般连词之间是有区别的．例如：在“6是2或3的倍数”

中，“或”是一般连词；而“6是2的倍数或6是3的倍数”中，“或”是逻辑联结词，是两者至少选一个的意思，这与并集中的“或”有相同之处．ABx|xA或xB

③对“非”的理解：非的含义是否定．非p也称为命题p的否定．由“非”可以联想到补集的概念．CUAxU且xA．

4．“且”

“或”“非”构成命题的真假判断方法（复合命题真假判断表）

①非p形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

真

假

非p

假

真

②p且q形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

真

真

假

假

q

真

假

真

假

p且q

真

假

假

假

③p或q形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

真

真

假

假

q

真

假

真

假

p或q

真

真

真

假

5．判断一个复合命题的真假，一般有三个步骤：

①确定复合命题的构成形式及其中简单命题的内容；

②判断各简单命题的真假；

③利用真值表判断复合命题的真假. 6．常见的一些词语的否定词如下表：

原词语

否定词语

原词语

否定词语

原词语

否定等于（）

不等于大于（）

不大于不小于小于（）

至少一个

一个也至少两个

至多一个

某个

任意的

任意两个

某两个

某些

不能

至少n1个

所有的

能

至多n个

不是

不都是

不完全

非负数

至少一个不

是

都是

完全

负数

所有的

词语

（）

（）

（）

没有

7．否定与否命题的关系

“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，而“命题的否定”只是否定命题的结论．

练习

反馈

（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便

【例1】分别指出下列命题的形式：

⑴87；

⑵2是偶数且2是质数；

⑶不是整数．

解：⑴这个命题是“p或q”的形式，其中，p：87，q：87．

⑵这个命题是“p且q”的形式，其中，p：2是偶数，q：2是质数．

⑶这个命题是“非p”的形式，其中，p：不是整数．

【例2】分别写出由下列命题构成的“pq”、“pq”、“p”的形式．

（1）p：是无理数，q：e不是无理数；

2（2）p：方程x2x10有两个相等的实数根，q：方程

x22x10两根的绝对值相等；

（3）p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．

解：（1）“pq”：是无理数且e不是无理数，

“pq”：是无理数或e不是无理数，

“﹁p”：不是无理数．

2（2）“pq”：方程x2x10有两个相等的实数根或方程x22x10两根的绝对值相等；

2“pq”：

方程x2x10有两个相等的实数根且方程x22x10两根的绝对值相等；

2“﹁p”：

方程x2x10没有两个相等的实数根．

（3）“pq”：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；

“pq”：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；

“﹁p”：

三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．

【例3】写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并判断他们的真假：

⑴p：3是质数，q：3是偶数；

22⑵p：方程xx20的解是x2，q：方程xx20的解是x1．

解：⑴“p或q”：3是质数或3是偶数；

“p且q”：3是质数且3是偶数；

“

非

p”：3不是质数．

因为p真，q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．

2⑵“p或q”：方程xx20的解是x2或方程x2x20的解是x1；

22“p且q”：方程xx20的解是x2且方程xx20的解是x1；

2“

非

p”：方程xx20的解不是x2．

因为p假，q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真．

2【例4】已知p：关于x的方程xmx10有两个不相等的负实2根；q：关于x的方程4x4m2x10无实根，如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求出满足要求的m的取值范围．

分析：先由“p或q”为真，“p且q”为假得出p、q的真假，然后再求出m的取值范围.

解：

若方程xmx10有两个不相等的负实根，

2m240,则x1x2m0,

解得m2，即p：m2；

xx10,12若方程4x24m2x10无实根，

则16m21616m4m30解得1m3，即q：221m3．

因“p或q”为真，所以p、q至少有一个为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一个为假，因此这两个命题应是一真一假．

当“p为真，q为假”时，m2,

解得m3；

m1或m3,当“p为假，q为真”时，综上得m3或1m2．

课堂小结

作业

布置

习题

调配

1．逻辑联结词；

2．复合命题的真假判断．

课本第18页习题1.3B组

m2,

解得1m2；

1m3,

学生作课本第18页练习和习题1.3A

备选习题：

1．命题“方程x40的解是x2”中，使用的逻辑联结词的情况是（

）

A、没有使用联结词

B、使用了逻辑联结词“或”

C、使用了逻辑联结词“且”

D、使用了逻辑联结词“非”

分析：注意到x2是x2或x2．答：选B．

2．命题“非空集合AB中的元素既是A中的元素也是B中元素”是________形式．命题“非空集合AB中的元素是A的元素或是B的元素”是________形式．

分析：xAB则xA且xB，填p且q．xAB则xA或2

xB，填p或q．答：填p且q；p或q．

说明

本题是集合问题与命题概念的结合．

3．p：菱形的对角线互相垂直．q：菱形的对角线互相平分．求下列复合命题：

(1)p或q；

(2)p且q；

(3)非p．

分析：一般的问题都是“拆”复合命题，这儿是“造”复合命题，关键在于“合”．

解：(1)菱形的对角线互相垂直或平分；

(2)菱形的对角线互相垂直且平分；

(3)菱形的对角线互相不垂直．

4．以下判断正确的是(

) A、若p是真命题，则“p且q”一定是真命题

B、命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题

C、命题“p且q”是假命题时，命题p一定是假命题

D、命题p是假命题时，命题“p且q”不一定是假命题

解：根据真值表，选B．

说明

在记忆真值表的时候，要体会它的合理性．

5．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么(

) A、命题p不一定是假命题

B、命题p一定是真命题

C、命题q不一定是真命题

D、命p与命题q的真值相同

分析：p为假，从而q为真．

解：选B．

6．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有(

)

A、p真q真

B、p假q假

C、p真q假

D、p假q真

分析

利用逆否命题与原命题的等价性，结合真值表确定结论．

解：∵“p或q”的否定是“非p且非q”，这是一个真命题，所以由真值表．非p、非q都是真命题，那么p假q假．选B．

7．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么

(

) A、命题p一定是假命题

B、命题q一定是假命题

C、命题q一定是真命题

D、命题q是真命题或者假命题

分析：利用真值表回推．

答：选D．

说明：解题过程中注意发挥逆向思维的作用．