2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学内容概述

平面与平面的夹角

（1）教学目标

(a)知识与技能：理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，利用向量方法求直线与平面的夹角。

(b)过程与方法

：采用“复习——引发思考——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。

(c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

（2）教学重点、难点

教学重点：理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念。

教学难点：利用向量方法求直线与平面的夹角。

（3）教学设想

(一)、复***面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）

（二）、引入新课

1 斜线,垂线,射影

⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. ⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段

⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影

直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上

2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中

A⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长

⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长

⑶垂线段比任何一条斜线段都短

⑴OB=OCAB=AC OBOCABAC OB⑵AB=ACOB=OC ABACOBOC C⑶OAAB，OAAC 3．直线和平面所成角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

一直线垂直于平面，所成的角是直角

一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角

直线和平面所成角范围：

0，



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（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角（向量方法见教材，以下补充非向量方法）

证明：设平面的一条斜线l在内的射影为l，角是l与l所成的角

直线OD是平面内与l不同的任意一条直线，过点l上的点A引AC垂直于OD，垂足为C

因为AB

所以ABAC，即sinsinAOC,因此AOC

AOAO4．公式

已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有cos1cos2cos（向量方法见教材，以下补充非向量方法）

证明：在平面的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B

连接OB，则OB⊥b. AO. APAB在直角△ABC中，cos2. AOAB在直角△ABP中，cos. APAOABABcos

所以

cos1cos2APAOAP在直角△AOP中，cos1所以cos1cos2cos成立

则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；

5、求直线与平面的夹角的步骤：

（1）建立空间直角坐标系

（2）计算直线的方向向量和平面的法向量

（3）求此两向量的夹角

（4）确定直线与平面的夹角

小结：本节课我们学***面内的射影、直线和平面所成角

课堂练习：第111页练习A、B 课后作业：第118页习题3-2A: 3.

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