2.1.4 平面与平面之间的位置关系国家优质课一等奖

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

编写人：刘高锋 审定人：高一数学组

【学习目标】

1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.

【预习案】

1.回顾平面的基本性质：三个公理的文字语言、符号语言、图形语言。小组同学之间相互提问。

2.观察长方体，你能发现长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？

【探究案】

提出问题

①什么叫做异面直线？

②总结空间中直线与直线的位置关系.

③两异面直线的画法.

④在同一平面内，若两直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？

⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？

讨论结果：

空间的两条直线的三种位置关系：

示例分析

例1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.

图6

变式训练

1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH是菱形.

2.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，AC⊥BD.

求证：四边形EFGH是正方形.

例2 如图7，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是

异面直

线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？

变式训练

如图8，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.

图7 图8

【随堂练习】

1.在空间，有下列命题：①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.其中正确的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）

A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交

3.若a和b异面，b和c异面，则（ ）

A.a∥c B.a和c异面 C.a和c相交 D.a与c或平行或相交或异面

4.若直线a、b、c满足a∥b，b⊥c，则a与c的关系是（ ）

A.异面直线 B.平行直线 C.垂直 D.相交

5.如果a⊥b，那么a与b（ ）

A.一定相交 B.一定异面 C.一定共面 D.一定不平行

6.如上图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=23，AD=23，AA′=2. (1)BC和A′C′所成的角是多少度？ （2）AA′

和BC′所成的角是多少度？