2.1.4 平面与平面之间的位置关系ppt配用优秀获奖教案

平面与平面之间的位置关系

——面面垂直习题课

(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，

如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

判定定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

两个平面垂直，则性质一个平面内垂直于定理

交线的直线与另一图形语言

符号语言

l⊂β⇒α⊥β

l⊥α个平面垂直

α⊥βl⊂β⇒l⊥α∩β＝al⊥aα

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(

) (2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(

) (3)如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

二、填空题

1．m，n为直线，α，β为平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α与β的位置关系为________．

答案：垂直

3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．

解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7对．

三、解答题

1、如图，在三棱锥DABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝6，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC. (1)证明：平面BDC⊥平面ADC；

(2)求三棱锥DABC的体积．

[解]

(1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，

BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝

14＋1－2×2×1×＝3，

2∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC，

∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，

∴BC⊥平面ADC，

又BC⊂平面BDC，∴平面BDC⊥平面ADC. 2(2)由余弦定理可得cos∠ACD＝，

3∴sin∠ACD＝5，

315∴S△ACD＝·AC·CD·sin∠ACD＝，

22115则VDABC＝VBADC＝·BC·S△ACD＝. 36

2、如图，在四棱锥EABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD1为、等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝AB，且2AE⊥BD. (1)证明：平面EBD⊥平面EAD；

(2)若△EAD的面积为3，求点C到平面EBD的距离．

解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可知四边形BCDM为平行四边1形，∴DM＝CB＝AD＝AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，∴BD⊥AD，又AE⊥BD，2且AE∩AD＝A，∴BD⊥平面EAD. ∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD.

(2)∵BD⊥平面EAD，且BD⊂平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面EAD. ∵等边△EAD的面积为3，

∴AD＝AE＝ED＝2，

取AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝3，

∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，

∴EO⊥平面ABCD. 由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形，

∴BD＝AB2－AD2＝23，

1S△EBD＝ED·BD＝23，

2设点C到平面EBD的距离为h，

11由VCEBD＝VEBCD，得S△EBD·h＝S△BCD·EO，

331又S△BCD＝BC·CDsin 120°＝3，

2∴h＝

33.∴点C到平面EBD的距离为. 22

3、

(2018·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD. [证明]

(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD，所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，

因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，

所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG. 1因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC. 2因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

1所以DE∥BC，DE＝BC. 2所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.