1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学目标

鸡西市第十九中学高二数学组

鸡西市第十九中学学案

2018年（

）月（

）日

班级

姓名

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

学习

目标

重点

难点

1.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2.理解全称命题与特称命题之间的关系. 要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定，我们一方面要充分理解量词的含义，另一方面应充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系.通过探究观察，总结规律，容易得到全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题的结论.

【探究点一】全称命题的否定

问题1

我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定的命题p，如何得到命题p的否定(或綈p)，它们的真假性之间有何联系？

答案

对命题p全盘否定，可得到命题綈p，命题p和綈p的真假性相反.

问题2

你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？

(1)所有矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

答案

(1)存在一个矩形不是平行四边形；

(2)存在一个素数不是奇数；

(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.

原来的三个命题都是全称命题，它们的否定是特称命题.

结论

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)，全称命题的否定是特称命题.

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例1

写出下列全称命题的否定：

(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.

小结

全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定. 训练1

写出下列命题的否定：

(1)三个给定产品都是次品；

(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

【探究点二】特称命题的否定

问题1

你能写出下列特称命题的否定吗？

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0∈R，x20＋1<0. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，

它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x). 特称命题的否定是全称命题.

例2

写出下列特称命题的否定：

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(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：有一个素数含三个正因数.

小结

特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立. 训练2

写出下列特称命题的否定，并判断其真假. (1)p：∃x0>1，使x20－2x0－3＝0；

(2)p：若an＝－2n＋10，则∃n∈N，使Sn<0.

【探究点三】特称命题、全称命题的综合应用

例3

已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围.

解

在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立.又由二次函数的图象特征可知，

小结

通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.

训练3

已知下列三个方程：(1)x2＋4ax－4a＋3＝0；(2)x2＋(a－1)x＋a2＝0；(3)x2＋2ax－2a＝0.若至少有一个方程有实数解，求实数a的取值范围.

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鸡西市第十九中学高二数学组

1.全称命题的否定：

全称命题p：∀x∈M，p(x)，

它的否定綈p：

2.特称命题的否定：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，

它的否定綈p：

3.全称命题的否定是

命题. 特定命题的否定是

命题. 【当堂训练】

1.命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是

2A.不存在x0∈R，x30－x0＋1≤0 2B.存在x0∈R，x30－x0＋1≥0 2C.存在x0∈R，x30－x0＋1>0 D.对任意x∈R，x3－x2＋1>0

2.对下列命题的否定说法错误的是

(

)

(

) A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D.p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋x＋2>0

3.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_________________________________.

4.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_________________________. 对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.

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