第四章 圆与方程（通用）主要内容及教案内容

1. 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，AB中点P的轨迹方程为_______________. 解

设M点的坐标为(x,y)

由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=11AB2aa,

22x2y2a,x2y2a2

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周. 2.动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即____________________. 22【解答】∵|PA|=(x3)y,|PB||PA|2），则动点P的轨迹方程为|PB|(x3)2y2

(x3)2y2|PA|2(x3)2y24(x3)24y2

2得代入|PB|(x3)2y2化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 3.两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是

. 【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x2y2xy0

4.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是

. 【解答】:令M点的坐标为(x,y),则A的坐标为(2x,2y),代入圆的方程里面得:(x)y5.求与两定点OO1，0、A3，0距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________ 12221(x0)

4【分析】:设动点为P，由题意POPA1，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。

2POPA1

2【解答】：设Px，y是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：x2y2x32y21

2化简得：xy2x30

6.过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。

解法一：“几何法”

设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC, ２２

２

所以|OM | ＋|ＭＡ|＝|ＯＡ|

，

即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16

化简得：（x－2）2+ y2 =4................................①

由方程

①

与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为

（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，

2为半径的圆在圆O内的部分。

解法二：“参数法”

设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4), 22

由直线与圆的方程得（1+k2）x2

－8k2x +16k2－4=0...........(*), x1x2y4k2由点M为BC的中点，所以x=...............(1) ,

又OM⊥BC，所以k=.................(2)由方程（1）x21k2（2）

消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2 ≤1,所以x＜1. 3所以点M的轨迹方程为（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，

2为半径的圆在圆O内的部分。

x2y20)为定点，求线段AB的中点M的

7.点B是椭圆221上的动点，A(2a，ab轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）

则由M为线段AB中点，可得

x02axx02x2a2

y0y2y00y2 即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

x2y2 又点B(x0，y0)在椭圆221上

abxy 02021ab22(2x2a)2(2y)2从而有21，

2ab4(xa)24y221

整理，得动点M的轨迹方程为a2b8.如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

yQB【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

RA又|AR|=|PR|=(x4)2y2

xoP所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得

x4y0, ,y122(

x42yx4－10=0 )()24222整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

【解答】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。

2222（1）当x≤3时，方程变为(x1)y3x4,(x1)yx1，化简得y24x(0x3)。

2222（2）当x>3时，方程变为(x1)yx34,(x1)y7x，化简得。

故所求的点P的轨迹方程是或

10.过原点作直线l和抛物线yx24x6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得k(,426)(426,)。

，设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。

由又消去k得。

，所以x(,6)(6,)。

∴点M的轨迹方程为y2x24x,x(,6)(6,)。