4.3.2 空间两点间的距离公式名师教学设计

空间两点间的距离公式

[提出问题] (1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2. (2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．

问题1：如何求数轴上两点间的距离？

提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|. 问题2：如何求平面直角坐标系中P，Q两点间距离？

提示：d＝|PQ|＝a－m2＋b－n2. 问题3：若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|? 提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．

[导入新知] 1．点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离

|OP|＝x2＋y2＋z2. 2．任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝

[化解疑难] 1．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．

x1＋x2y1＋y2z1＋z22．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P2，2，2. x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.

空间中点的坐标的确定

[例1]

如图，在长方体ABCD

-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．

[解]

以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，

则|CF|＝|AB|＝1，

11|CE|＝|AB|＝，

2213所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝. 2231，，0，点F的坐标为(1,2,1)．

所以点E的坐标为2[类题通法] 空间中点P坐标的确定方法

(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．

(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．

[活学活用]

如图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．

解：∵底面是边长为2的正方形，

∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O点是坐标原点，

∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1，0)，D(－1,1,0)．

∵V在z轴上，

∴V(0,0,3)．

空间中点的对称

[例2]

(1)点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是________．

(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对

称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．

[答案]

(1)(1,2,1)，(1，－2,1)

(2)(2，－3,1) [类题通法] 1．求空间对称点的规律方法

空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：

(1)关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；

(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；

(3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；

(4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；

(5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；

(6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；

(7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．

[活学活用] 1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为(

) A．(－3,1,5)

C．(3，－1，－5)

答案：A 2．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是_______，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________．

答案：(－3,2,1)

(3,2，－1)

(－3，－2,1)

(3,2,1) 空间中两点间的距离

[例3]

如图，已知正方体ABCD

-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．

B．(－3，－1,5) D．(－3,1，－5)

[解]

由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

因为正方体的棱长为a，

所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．

由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，

aaaaa，，，O′，，a. 所以M22222

因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故a3N4，4a，a. 根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝

a－a2＋a－3a2＋a－a2＝6a. 242424[类题通法] 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．

[活学活用]

如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为(

)

A.2a

C．a

答案：B B.2a

21D.a

2

12.空间直角坐标系的应用误区

[典例]

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．

[解析]

取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝3，可得A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)．

[易错防范] 1．解答此题不是以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，而是以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，进而错误地求出A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．

2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则．

[成功破障] 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz. (1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；

(2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．

221－2，2，－1. ，，，解：(1)由题意知P的坐标为P关于y轴的对称点P′的坐标为333333(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，

则有|MP|＝

＝

－22＋m－22＋m－12＝

2m2－2m＋1 33311m－2＋. 22212当m＝时|MP|取得最小值，

22110，，. 所以点M为22

[随堂即时演练] 1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(

) A．关于x轴对称

C．关于坐标原点对称

答案：A 2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是(

) B．关于xOy平面对称

D．以上都不对

A．(－2,1，－4)

C．(2，－1,4)

答案：A B．(－2，－1，－4) D．(2,1，－4) 3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．

答案：(0,0,6) 4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．

答案：

5．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

239

3

答案：|DE|＝

5

|EF|＝

6 [课时达标检测] 一、选择题

1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为(

) A．3

C．1

答案：C 2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(

) A．7

C．－1

答案：D 3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为(

) A．(0，2，0)

B．(0，2，3) B．－7 D．1 B．2 D．0

C．(1,0，3)

答案：D D．(1，2，0) 4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为(

) A．25

C．22

答案：B 5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是(

) A．－3或4

C．3或－4

答案：D 二、填空题

6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是________三角形．(填三角形的形状) 答案：等腰

7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为________．

答案：35

5B．6或2 D．6或－2 B．4 D．27 8．在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|1＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为________．

4答案：41

8三、解答题

9.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．

解：过点D作DE⊥BC，垂足为E. 在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝3，∴|DE|＝|CD|sin 30°＝11－|BD|cos 60°＝1－＝，

2213∴点D的坐标为0，－，. 22

10．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C13，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|2

上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M，N两点间的距离．

解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，

∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，

∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．

∵N为CD1的中点，

∴N32，3，1. M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，

∴M(1,1,2)．

由两点间距离公式，得

|MN|＝

32－12＋3－12＋1－22＝212.