2.3 抛物线（通用）优秀课堂实录

抛物线及其标准方程

一、教学目标

1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程；

2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程；

3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

二、教学重点

抛物线的定义及标准方程

三、教学难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）

四、教学过程

（一）复习旧知

问题1.我们已经学习了椭圆以及双曲线，那它们是如何定义的？

问题2.刚说的两种定义我们叫做椭圆、双曲线的第一定义，而后又拓展过他们的第二定义，两者的描述中存在相同部分，我们先把这一部分给出来（课件展示）对于比值的不同范围，轨迹不同，那什么时候是椭圆，什么时候是双曲线？

探究1：我们知道距离与距离的比值是一个正数，这里讨论了01，唯独还没考虑过e=1的情况，就下来我们就探究一下当e=1时动点形成的轨迹。

过F点作直线l的垂线，垂足是点K，动点M的轨迹必过KF线段的中点N；过F点作直线l的两条平行线段，长度为|KF|,则端点A、B都是轨迹上的点。我们用光滑的曲线把这些点连接起来，形成一条曲线，叫做抛物线。

（二）学习新课

1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线

来

2.抛物线的标准方程

问题.回顾建立椭圆、双曲线的标准方程时，经历了哪些步骤？

要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系. 探究2 设焦点F到准线l的距离为p(p0)，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. （1）方案1：以KF所在直线为x轴，以准线为y轴；

（2）方案2：以KF所在直线为x轴，以过N点作准线的平行线为y轴；

（3）方案3：以KF所在直线为x轴，以过F点作准线的平行线为y轴；

猜想：三种方案下的抛物线方程谁更简单？

初中学过二次函数，那么最简单的二次函数形式是怎样的？y=x2,而它对应的图像过原点，并且顶点就是原点，由此可猜想，方案3所建立的方程应该是最简单的，接下来就以方案3的建系方式来推到方程。

推导过程：

pp，0），l：x = -

22设动点M的坐标为（x，y）由|MF|=|MH|可知，

设︱KF︱= p则F（

pp(x)2y2x22

化简得y2px(p0)

2探究3.相应地，把另外两种方案的方程也给表示出来得到：

p（1）方案1：y22p(x)

2p（2）方案2：y22p(x)

2（3）方案3：y22px(p0)

从三种方程的形式上看，第三种最简单，最易记忆。

我们把方程y22px(p0)叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点pp坐标是,0，准线方程是x。

22在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

寻找四种抛物线的区别与联系:

（1）四种形式标准方程及图像的共同特征

1）二次项系数都化成了__1__；

2）一次项的系数都含2p；

3）四种抛物线都过_O_ 点，且焦点与准线分别位于此点的两侧。

（2）四种形式标准方程的区别

1）一次项(x或y)定焦点位置；

2）一次项系数符号定开口方向；正号朝正向，负号朝负向。

(三)例题

例1已知抛物线的标准方程是y26x，求它的焦点坐标和准线方程,

解：∵2P=6,∴P=3

则抛物线的焦点坐标是（3

准线方程是x=-

23，0）

2变式训练1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

（1）y

2 = -20 x

（2）y = 6 x

2

解：（1）焦点F ( -5 , 0 )，准线：x =5 11)，准线：x=-

2424例2.已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程

.解:

因为焦点在y轴的负半轴上,

所以设所求抛物线的标准方程为x2= -2py(p>0)

p

由题意得=2

，即p=4

2

则所求抛物线的标准方程为x2= -8y

（2）焦点F ( 0 ,变式训练2：已知抛物线的准线方程是x=-解：y2=x

1，求它的标准方程. 4

(四)小结

1、抛物线的定义；

2、抛物线的四种标准方程；

3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.

(五)作业

P64

习题2.3

A组

：1,2