3.1.2 导数的概念教案推荐

《导数的概念》教案

教学目的

1．理解平均速度及瞬时速度；

2．通过瞬时速度的探求，归纳抽象出一般函数的瞬时变化率，理解平均变化率与瞬时变化率的关系；

3．能正确领会并应用导数定义的符号表示；

4．能用导数定义求一次或二次函数的导数；

5．通过导数概念的形成过程，体会到从特殊到一般，从抽象到具体，感悟数学中变量与极限的思想;

教学重点

通过运动员在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．

教学难点

体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．

教学准备

多媒体，计算器

教学流程框图

复习准备

体会模型

提炼模型

形成概念

应用概念

小结作业

理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．

感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．

从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．

由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．

理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．

通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．

教学过程设计

教学内容

教师活动

学生活动

教学评价

（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．

（2）提问：求平均变化率步骤？

.

（3）提问：平均变化率的几何意义是什么？

1．复习准备

（4）提问：在上节课中，我们是如何设计意图：得到平均变化率的公式？

学生理解平

均速度与瞬

时速度的区（5）提问：在高台跳水中，运动员在别与联系，不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某感受到平均一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度在时间速度不一定能反映在某一刻的瞬时速度，那间隔很小时么如何求瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时可以近似地速度是多少？

表示瞬时速

度．

（6）教师启发并引导：平均速度是在某一时间段的速度，瞬时速度是在某一刻的瞬时速度，某一刻说明时间间隔怎么样？

（7）提问：那么说明平均速度和瞬时速度有一定关系，下面们先考察t=2附近的平均速度。在t=2之前或之后，任意取一个时t刻，

如果

2





t表示的是2之前的时刻，要满足什么条件？

回答问题后理解：

（1）复习过（1）f(x2)f(x1)．

程学生明确x2x1函数的平均

变化率表示．

（2）(1)求增量：

xx2x1

yf(x2)f(x1)

(2)求平均变化率：

f(x2)f(x1)

y



x

x2x1

（3）表示两点的割线

斜率

（4）由平均速度h(t)

类比到平均变化率

f(x)

（2）学生明（5）学生思考．

确平均速度

与瞬时速度

的关系，为下

一阶段实验

活动作铺垫．

（6）学生回答，

“时间间隔很小！”

（7）学生回答：



t应小于0

2t,2

（8）我们可以得到这个区间，

（8）师生共同完成

t表示的是2之后的同理如果



t

>0，

2





[来源:Zxxk.Com]时刻，又得到

2,2t这个区间。

2t,2（1）下面，请大家分别计算出和2,2t上的平均速度。

（2）向学生提出数学实验任务：

2．体会模型

设计意图：学生在信息技术平台上，通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程

（1）学生列式，化简出平均速度的式子：

v4.9t13.1

（2）学生用计算器进行计算，完成表格。

（1）学生通过多次实验感受到平均速度在t→0时趋近于一个常数，并理解这个常数的意义．

（2）学生从感性上获得求瞬时速度的方法．

（3）学生通过计算，发（3）提问：若



t





0.000001

呢？若

现规律，回答

13.0999951和





t



0.000001

平均速度又是多少？

13.1000049

（4）提问：观察你自己的表格，你能发现当（4）学生观察平均速度t0时平均速度有什么变化趋势吗？ 的变化趋势，回答教师

的提问．

（1）学生思考

回答出：是！

（2）学生学习理解新的符号lim

叫做在t2处，当t趋近于0时，平均速度v的极限．

3．提炼模型

（3）提问：我们得到了t=2时的瞬时速度，但这

设计意图：学还不足以代表所有时刻的瞬时速度，能不能用同样的办（3）学生快速生认识到平法，得到t0时的瞬时速度？

说出式子

ht0tht0

均速度当时

lim

间间隔趋向tt0

于零时的极

限就是瞬时

速度，为给出

导数概念提

炼出一个具

体的极限模

型．

（4）启发学生：在上节课中，我们由平均速度得（4）学生共同到平均变化率，刚刚我们得到了瞬时速度，类比瞬时速回答

度，函数f (x)也有瞬时变化率，那么函数f (x)在

x = x0 处的瞬时变化率怎样表示? fx0xhx0

limxx0

（1）提问：当t趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数-13.1，这个常数是不是瞬时速度呢？．

h2th2（2）教师讲解：用lim表示v所tt0h2th2趋近的常数，即lim13.1．把-13.1tt0

学生通过动手计算，得到平均速度在t→0时趋近于一个常数，并且这个常数就是瞬时速度．

学生理解极限符号表示的意义．

（1）提问：启发学生：在上节课中，我们由平均速度得到平均变化率，刚刚我们得到了瞬时速度，类比瞬时速度，函数f (x)也有瞬时变化率，那么函数f (x)在

x = x0 处的瞬时变化率怎样表示? fx0xhx0

limxx0（1）在教师的启发下思考数平均变化率与瞬时变化率之间的关系．

（2）理解函数导数的概念与导数的表示方法．

（3）

回答教师的提问．

学生从“平均速度的极限是瞬时速度”这个具体的模型中抽象出导数的概念，并能理解导数是一个极限，明确导数的表示．

（2）教师给出导数的定义：

4．形成概念

设计意图：完成从运动员的瞬时速度到函数瞬时变化率的过渡，形成导数的概念并给出定义．

函数f(x)在xx0处的瞬时变化率

x0limf(x0x)f(x0)ylim

x0xxxx0称为yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y，即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)．

x说明：瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

f(x0)与x0 的值有关,与△x的值无关。

（3）提问：你能说说求函数y=f(x)在x=

x0处的导数的步骤吗？

教师在学生说的基础上要总结出步骤．

1、

求改变量: yf(x0x)f(x0)

yf(x0x)f(x0)2. 求平均变化率: xx

ylim.3. 取极限，求导数: f(x0)x0x

（1）讲解例1：

将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第

x(h)5．应用概念

源:Z_xx_k.Com]（1）通过教师讲解完共同求出f(2)后，回答它的意义．

（2）学生独立完成

时，原油的温度（单位:

C）为:f(x)=x-7x+15(0[来2≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原油温

度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

设计意图：学第2小时的瞬时变化率为－3，说明在第2生进一步理小时附近，原油大约以3 C/h的速度下降．

．．．．解导数概念，体会导数的第6小时的瞬时变化率为5，说明在第6小应用价值，熟时附近，原油大约以5C/h的速度上升．

．．．．悉求导数的步骤．

（2）提出练习：

(1)求函数f(x)1

在x=2处的导数; x(2)求函数

f(x)（1）检查学生是否清楚求导数的步骤．

（2）检查学生能否准确地求出函数在某点的导数．

x在x=1处的导数

学生不仅能从知识的角度看所学过的内容，还能体会到寓于知识中的数学思想与方法．

6．小结作业

设计意图：学生通过总结，进一步体会导数的意义及极限的思想，训练概括能力．通过布置作业，巩固所学内容．

（1）让学生小结并交流．

（2）教师总结：

本节课学习了导数的概念，在这个过程中我思考本节课所们看到：数学使不可能的事情变成现实；

学内容，可以导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零彼此之间交流时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函自己的小结，数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思回答教师提想．

问. 用定义法求导数的步骤大致分为以下三步：

第一步，求函数增量；

第二步，求平均变化率并化简；

第三步，求平均变化率的极限，即导数．

作业：

2（1）

质点运动规律为s=t

+3 求质点在 t=2的瞬时速度．

（2）

已知函数

f(x)x2x，

y'|xx03,求x0的值.