1.1.3 四种命题间的相互关系国家优质课一等奖

1.3.2

命题的四种形式

学习目标：1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．(重点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点、易混点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．四种命题

内

栏

定义

容

名

称

目

表示形式

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分原命题为“若互逆命题

别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两p，则q”，逆个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫原命命题为“若q，题，另一个叫作原命题的逆命题

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否互否命题

定．这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰互为逆否命题

好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题

思考1：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？

[提示]

因为任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题．因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．

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则p”

原命题为“若p，则q”；否命题为“若﹁p，则﹁q”

原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若﹁q，则﹁p”

2．四种命题间的相互关系

(1)形式关系

(2)真假关系：

①互为逆否的两个命题是等价的，它们有相同的真假性．

②互逆或互否的两个命题是不等价的，它们的真假性没有关系．

思考2：若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同，这种说法正确吗？

[提示]

互否命题的真假性没有关系，但也可能相同，故此说法错误．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(

) (2)若一个命题是假命题，则其逆命题有可能是真命题．(

) (3)命题“若x2＞y2，则x＞y”的否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．(

) [提示]

(1)√

(2)√

(3)×

“若p，则q”的否命题为“若﹁p，则﹁q”．故“若x2＞y2，则x＞y”的否命题为“若x2≤y2，则x≤y”．

2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的(

) A．逆命题

C．逆否命题

B．否命题

D．无关命题

A

[两个命题条件与结论互换，故互为逆命题．] 3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是

(

) A．原命题、否命题

C．原命题、逆否命题

B．原命题、逆命题

D．逆命题、否命题

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D

[原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．] 4．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的否命题为________，是________命题(填“真”或“假”)．

已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2≠0，则λ≠0或μ≠0

真

[否命题即把原命题的条件和结论都否定．] [合

作

探

究·攻

重

难]

四种命题之间的转换

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x>0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. [解]

(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，

那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，

那么这条直线不垂直于平面；

逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. (3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2. [规律方法]

写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题. 提醒：在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论. 版权所有©正确教育

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[跟踪训练] 1．命题：“若a·b≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．

若a，b至少有一个为零，则a·b＝0

[由“若p，则q”的逆否命题为“若﹁q，则﹁p”可得．] 2．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)当c>0时，若a>b，则ac＞bc；

(2)正数m的平方大于0. [解]

(1)逆命题：当c>0时，若ac＞bc，则a＞b；

否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc；

逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b. (2)逆命题：若m2>0，则m>0；

否命题：若m≤0，则m2≤0；

逆否命题：若m2≤0，则m≤0.

四种命题间的关系及真假判断

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)垂直于同一个平面的两直线平行．

(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．

(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0. 确定命题的[思路探究]

→写出四种命题→判断命题真假

条件、结论[解]

(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面，假命题．

否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行，假命题．

逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面，真命题．

(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，

则m·n<0，假命题．

否命题：若m·n≥0，

则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．

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逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，

则m·n≥0，真命题．

(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．

[规律方法]

要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握. [跟踪训练] 3．下列命题：

①“如果xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题．

其中真命题是________．

①②③

[①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“如果a>b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.] 4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；

(2)相等的两个角的正弦值相等；

(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；

(4)若x∈A，则x∈A∩B. [解]

(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b.真命题；

否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B.真命题；

逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b.真命题．

(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；

否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；

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逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．

(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；

否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；

逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．

(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；

否命题：若∈/

A，则x∈/

A∩B.真命题；

逆否命题：若x∈/

A∩B，则x∈/

A.假命题.

等价命题的应用

[探究问题] 1．直接证明原命题有困难时，应如何证明？

[提示]

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．

2．四种命题之间有怎样的相互关系？

[提示]

(1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性．

(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题．它们分别为：

①两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题．

②两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题．

③两对互逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题．

(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题．

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.

[思路探究]

可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的真假性相同去判断原命题的真假．问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解．

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[解]

法一：逆否命题为：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

对应方程的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0，

即抛物线与x轴无交点，

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故逆否命题为真．

法二：先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

7即4a－7≥0，解得a≥4. 7因为a≥4>1，所以原命题为真．

又因为原命题与其逆否命题的真假性相同，所以逆否命题为真．

法三：命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集，命题q：a≥1. 所以命题p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)－4(a22

7＋2)≥0}＝aa≥4

. 命题q：B＝{a|a≥1}．

因为A⊆B，所以“若p，则q”为真，

所以“若p，则q”的逆否命题“若﹁q，则﹁p”为真，

即原命题的逆否命题为真．

母题探究：1.(改变问法)本例中判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a＜2”的逆命题的真假．

[解]

逆命题为：已知a，x为实数，若a＜2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

对应方程的判别式Δ＝4a－7，

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因为a＜2时，4a－7＜1 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不一定为空集．

故逆命题为假命题．

2．(变换条件)本例1中判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式7x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集是R，则a<4”的逆否命题的真假．

[解]

先判断原命题的真假如下：

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2) ＝4a－7＜0，

7所以a<4.所以原命题是真命题．

因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．

[规律方法]

(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．

(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否

命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．

(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题是(

) A．原命题、否命题

C．原命题、逆否命题

B．原命题、逆命题

D．逆命题、否命题

C

[由原命题为真命题，所以逆否命题也是真命题．] 2．命题：“若x2<1，则－1

(

) A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．若－1

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C．若x>1，或x<－1，则x2>1 D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1 [答案]

D 3．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是(

) A．若a2＞b2，则a≤b

C．若a≤b，则a2＞b2

[答案]

B 4．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________；否命题是________；逆否命题是________．

[答案]

逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；

否命题：若x≠3，或y≠5，则x＋y≠8；

逆否命题：若x＋y≠8，则x≠3，或y≠5. 5．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论.

[解]

法一：是真命题．

∵m＞0，∴Δ＝1＋4m＞0. ∴方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题．

又因原命题与它的逆否命题等价，

∴命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题也是真命题．

法二：是真命题．

原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“如果x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵x2＋x－m＝0无实根，

1∴Δ＝1＋4m<0，m<－4≤0，故原命题的逆否命题为真命题．

B．若a2≤b2，则a≤b

D．若a≤b，则a2≤b2

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