习题1.1优秀教学设计内容

回顾1

集合、常用逻辑用语、复数

[必记知识]

集合

(1)集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB. (2)子集、真子集个数计算公式

对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2. (3)集合运算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．

四种命题之间的相互关系

四种命题的真假关系

原命题

真

真

假

假

错误!

否命题与命题的否定的区别

区别

否命题

否命题既否定其条件，又否定其结论

命题的否定

命题的否定只是否定命题逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

的结论

命题的否定与原命题的真否命题与原命题的真假无必然联系

假总是相对立的，即一真一假

含有一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：

命题

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

命题的否定

∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) [提醒]

由于全称命题经常省略量词，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再改写量词和否定结论.

全称命题与特称命题真假的判断方法

命题

名称

全称

命题

特称

命题

真假

真

假

真

假

判断方法一

所有对象使命题真

存在一个对象使命题假

存在一个对象使命题真

所有对象使命题假

判断方法二

否定命题为假

否定命题为真

否定命题为假

否定命题为真

复数的相关概念及运算法则

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类

①z是实数⇔b＝0；

②z是虚数⇔b≠0；

③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)共轭复数

－复数z＝a＋bi的共轭复数z＝a－bi. (3)复数的模

复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2. (4)复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．

(5)复数的运算法则

加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；

乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

ac＋bdbc－ad除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝22＋22i. c＋dc＋d(其中a，b，c，d∈R.) [必会结论]

集合运算的重要结论

(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B. (3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

一些常见词语的否定

正面

词语

等于(＝)

否定

正面

词语

不是

否定

正面

词语

任意的

否定

存在

一个

存在一个

不等于(≠) 不大于(小是

大于(＞)

于或等于，即“≤”) 不小于(大

都是

不都是(至少有一个不是)

所有的

小于(＜)

于或等于，即“≥”)

至多有一个

至少有两个

且

或

全为

不全为

至少有一个

一个也没有

或

且

充分条件与必要条件的三种判定方法

(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q

⇒/ p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．

(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．

(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．

复数的几个常见结论

(1)(1±i)2＝±2i. 1＋i1－i(2)＝i，＝－i. 1－i1＋i

(3)i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i，i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0(n∈N)．

＋＋＋＋＋＋13－(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0. 22[必练习题] 1．设集合M＝{x∈Z|－3＜x＜2}，N＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则M∩N等于(

) A．{0，1}

C．{0，1，2} 答案：D 2．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{y|y＝2x－1，x≥0}，则A∩B等于(

) A．∅

C．A

答案：C 2i3．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(

) 1－iA．第一象限

C．第三象限

答案：B 4．若a为实数，则(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于(

) A．－1 C．1 答案：B 5．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{5，6，7}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈B}，则C中所含元素的个数为(

) A．5 C．12 答案：D 6．设命题甲：ax2＋2ax＋1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的(

) A．充分不必要条件

C．必要不充分条件

答案：C 7．下列四个命题：

①若x＞0，则x＞sin x恒成立；

②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；

③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；

B．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B．6 D．13 B．0 D．2 B．第二象限

D．第四象限

B．[0，1)∩(3，＋∞)

D．B

B．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}

④命题“∀x∈R，x－ln x＞0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0＜0”．

其中正确命题的个数是(

) A．1 C．3 答案：C 8．已知A＝{(x，y)|y＝2x＋5}，B＝{(x，y)|y＝1－2x}，则A∩B＝________．

答案：{(－1，3)} 2＋i9．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值为________．

1＋i答案：0 10．已知命题p：∃x0∈R，x20＋ax0＋a＜0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是________．

答案：[0，4] B．2 D．4