3.1.2 导数的概念精品学案

导数的概念

一、教学目标

1、知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：

①

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力

②

通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.

二、重点、难点



重点：导数概念的形成，导数内涵的理解



难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵

通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

三、教学过程

1、创设情景、引入新课

回顾上节课留下的思考题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在0t65这段时间里的平均速度，并49思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

师生活动：首先回顾上节课留下的思考题：

在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出

：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况？

2、初步探索、展示内涵

根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次：

（1）、结合跳水问题，明确瞬时速度的定义

问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？

师生活动：提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它附近的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化

问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算vh(2t)h(2)的值？

t

Δt

v

….

Δt

v

…

一方面分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ……….

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

……. 问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

Δt

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 v

-12.61 -13.051 -13.0951 -13009951 -13.099951 ….

Δt

0.1

0.01

0.001

0.0001 v

-13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 h(2t)h(2)13.1

t0tlim

-0.00001

0.00001 -13.100049

……. …

………. 问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

师生活动：引导学生继续思考:运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示? 学生意识到将t0代替2,可类比得到limh(t0t)h(t0)

t0t（2）、借助其它实例，抽象导数的概念

问题五：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？

问题六：如果将这两个变化率问题中的函数用f(x)来表示，那么函数f(x)在xx0处的瞬时变化率如何呢？

在前面两个问题的铺垫下,进一步提出，我们这里研究的函数f(x)在xx0处的瞬时变化率f(x0x)f(x0)flim即yf(x)在xx0处的导数,记作

x0x0xxlim

f(x0x)f(x0)(也可记为yxx) 0x0x3、循序渐进、延伸拓展

f(x0)lim例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度（单位：c）为f(x)x27x15(0x8)

（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

步骤： ①启发学生根据导数定义，再分别求出f(2)和f(6)

②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？

③大家是否能用同样方法来解决问题二？

④师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢

变式练习：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度

2（2）求物体在t时刻的瞬时速度

（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

4、归纳总结、内化知识

1、瞬时速度的概念

2、导数的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般

5、作业布置

（必做）习题A组第2、3、4 题

（选做）：习题B组第1题