3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学评价实录

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

【学情分析】：

本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复***面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。

【教学目标】：

（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面

（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理

（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解

【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用

【教学难点】：空间向量的分解

【课前准备】：课件

【教学过程设计】：

一、创设情景

平面向量基本定理的内容及其理解

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，

使a1e12e2

二、新课讲授

1、空间向量的基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc

证明：（存在性）设a,b,c不共面，

过点O作OAa,OBb,OCc,OPp过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P；在平面OAB内，过点P作直线PA//OB,PB//OA，分别与直线OA,OB相交于点A,B，于是，存在三个实数x,y,z，使

OA/OAxa,OB/OByb,OC/OCzc

∴OPOAOBOCxOAyOBzOC

所以pxaybzc

（唯一性）假设还存在x,y,z使pxaybzc

∴xaybzcxaybzc∴(xx)a(yy)b(zz)c0

/////////yy/zz/不妨设xx即xx0 ∴abc

//xxxx∴a,b,c共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一

综上两方面，原命题成立（注：上述证明不须给学生讲授）

由此定理，

若三向量a,b,c不共面，那么空间的任一向量都可由a,b,c线性表示，所有空间向量组成的集合就是ppxaybzc,x,y,zR，这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量。

注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．

特别地，设e1、e2、e3为由公共起点O的三个两两互相垂直单位向量，称这个基底为单位正交基底，以

e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、

z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz。那么，对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OPp。有空间向量基本定理可知，存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3，我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p(x,y,z)

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC

有空间向量定理可知，空间任意一个向量都可以用不共面的向量表示出来，这能为解决问题带来方便。

三、典例分析

例1

如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点。用向量OA、OB、OC表示OP和OQ。

例2如图，在正方体OADBCA/D/B/中，，点E是AB与OD的交点,M是OD与CE的交点，试分别用向量OA,OB,OC表示OD和OM

例3

如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA,OB,OC/

表示向量OG

四．课堂练习

1．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(

) A．a

B．b

C．a＋2b D．a＋2c

→→→2．O、A、B、C为空间四点，且向量OA，OB、OC不能构成空间的一个基底，则(

) →→→→→A.OA、OB、OC共线 B.OA、OB共线

→→C.OB、OC共线 D．O、A、B、C四点共面

3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________．

4．已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标．

五、回顾总结

六、布置作业

答 案

例1

【答案】解：OPOMMP1212OAMNOA(ONOM)

2323121121OA(ONOA)=OA(OBOC)

232632111OAOBOC

6331111OQOMMQOAMNOA(ONOM) 2323111111OA(ONOA)OA(OBOC)

232332111OAOBOC

366例2

【答案】解：OD/OAOBOC

111OMOAOBOC

333

例3

【答案】解：OGOMMG

2OMMN312OA(ONOM)231211OA[(OBOC)OA] 2322111OA(OBOC)OA233111OAOBOC633

∴OG

课堂练习

1．【答案】D. 【解析】构成基底的条件是三个向量不共面，故只有D选项满足条件．

2．【答案】D. →→→→→→【解析】由OA、OB、OC不能构成基底知OA、OB、OC三向量共面，所以O、A、B、C四点共面．

3．【解析】由空间向量坐标概念知a＝(2，－4,5)，b＝(1,2，－3)．

【答案】(2，－4,5)，(1,2，－3)

4．【答案】解：根据空间直角坐标系中点的坐标的定义，可知

111OAOBOC

633D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)．