3.1.1 空间向量及其加减运算优秀教学设计内容

空间向量与立体几何

我们已经讲完了空间中线、面的位置关系，是以公理、定理为基础定性的来研究。下面我们从向量的角度来研究一下空间中线、面的位置关系。我们在高一时学过平面向量，可以用来解决平面几何的问题，现在解决立体几何的问题，我们用到的是空间向量。

空间向量可以在平面向量的基础上加以扩充，同时对平面向量进行一下复习。向量解决立体几何中有关平行、垂直、成角、距离等问题。

一. 空间向量的基本概念、运算、定理

1. 空间向量的基本概念

由于我们所讲的向量可以自由移动，是自由向量，因此对于一个向量、两个向量都是共面的，他们的基本概念与平面向量完全一样。包括：向量的定义、向量的表示方法、向量的模、零向量、单位向量、向量的平行与共线、相等向量与相反向量等等

2. 空间向量的加法、减法与数乘运算

两个空间向量的加法、减法与数乘运算法则及其运算律都与平面向量的知识相同。但空间不共面的三个向量的和应该满足“平行六面体”法则。

即：平行六面体ABCD-A＇B＇C＇D＇中，

3. 空间向量的数量积

空间两个向量的数量积与平面两个向量的数量积的概念及法则都是一致的。

定义：

性质与运算律：

①

4. 空间向量中的基本定理

共线向量定理：对于任意空间向量

作用：证明直线与直线平行。

推论：P、A、B三点共线的充要条件：

作用：证明三点共线。

共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量对x、y使。

不共线，向量共面的充要条件是存在实数，其中O为任意一点，t为实数。

;②;③;④;⑤

的夹角（起点重合），规定

。

作用：证明直线与平面平行。

推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：x+y+z=1。

，其中O为任意一点，x、y、z为实数，且

作用：证明四点共面。

空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任意向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z使。、、叫做基向量，叫做空间的一组基底。

作用：空间向量坐标表示的理论依据。

二. 空间向量的坐标运算

1. 空间直角坐标系

我们在平面直角坐标系的基础上增加一个与平面垂直的方向，构成右手直角坐标系，即：伸出右手使拇指、食指、中指两两垂直，拇指、食指、中指分别指向x、y、z轴的正方向，空间任意一点可用一组有序实数确定，即：A（x，y，z）。

2. 向量的直角坐标运算

三. 空间向量与立体几何

1. 有关平行问题

例1.已知：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1BMN交C1D1于点N. 求证:EM∥平面A1B1C1D1。

，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面

证明：

则：

又证明：建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a(a>0)，

则A1（2a，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，2a，a）.

∵E为A1B的中点，M为CC1的中点，

∴EM∥平面A1B1C1D1。

例2.已知：四边形ABCD、ABEF是正方形，M、N是FB、AC上的点，且FM=AN求证：MN∥面EBC

证明：

，∵四边形ABCD、ABEF是正方形，FM=AN

2. 有关垂直问题

例3.

已知：四面体A-BCD中，AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD。

解：∵AB⊥CD，BC⊥AD，

例4.

已知：直三棱柱ABC-A1B1C1中，

求证：平面A1DC⊥平面ADC.

解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=a，

，∠BAC=90°，D为棱BB1的中点。

则A1（0，0，2a），C（0，a，0），C1（0，a，2a），D（a，0，a），

3. 有关成角问题

例5.

已知：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点。

（1）求证：AD⊥D1F；

（2）求：AE与D1F所成的角；

（3）求证：面AED⊥面A1FD1。

解：建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，

则D（0，0，0），A（2，0，0，），F（0，1，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），E（2，2，1）.

（1）

（2）

（3）由（1）知

又D1F

例6.已知：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=a，

（1）求证：A1、M、C、N四点共面；

（2）求证：平面A1MCN⊥平面A1BD1；

（3）求：A1B与平面A1MCN所成的角。

面A1FD1，∴面AED⊥面A1FD1. ，即AE与D1F所成的角为直角。

则D1F⊥平面AED. ，M是AD中点，N是B1C1中点。

解：以D为原点建立空间直角坐标系，

（1）

（2）∴A1，M，C，N四点共面。

∴BD1⊥平面A1MCN，∴平面A1MCN⊥平面A1BD1。

（3）∵BD1⊥平面A1MCN，

∴θ=135°，∴A1B与平面A1MC所成的角等于45°。

单元练习：

1. 对于不共面的三个向量

（A）、；

；

、

，下列命题正确的是（

）

（B）总可以找到两个实数λ、μ，使

（C）这三个向量不能相加；

（D）对空间任意向量

，存在有序实数组x1、x2、x3、x4，使，其中x1不等于零。

2. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若等的向量是（ ）

，则下列向量中与相

（A）

（B）

（C）

（D）

3. 正四面体ABCD中，E为AB中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（

）

（A）

90°

（B）

60°

（C）

45°

（D）

30°

4. 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD边长为1，侧棱长AA1=2，E为BB1中点，则异面直线AD1与A1E所成的角为（

）

（A）

（B）

（C）90°

（D）

5. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,

（1）求证：PA⊥底面ABCD；（2）求：PC的长。

6. 已知：棱长为a的正方体OABC-O＇A＇B＇C＇

中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF，求证：A＇F⊥C＇E。

练习答案

1. D

2. A

3. C

4. A

5. 解：

①

②

6. 证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系，

。

设AE=BF=x，则A＇（a，0，a），F（a-x，a，0），C＇（0，a，a），E（a，x，0）

高二数学周末练习（十）本周习题：

1．已知向量

，则与共线的单位向量（

）

编稿老师：侯

彬

审稿老师：谷

丹

责

编:严春梅

A．（1，1，0）

B．（0，1，0）

C．

D．（1，1，1）

2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为平面A1B1C1D1的中心，若的值分别为（

）

，则x，y

A．x=1，y=1

B．x=1，

C．，

D．，y=1

3．已知A，B，C，D为空间不共面的四点，且满足的的形状是（

）

，，，则△BCD

A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

D．不确定

4．已知正四面体A—BCD中，E，F分别在AB、CD上，且所成角的余弦值为（

）

，，则直线DE和BF

A．

B．

C．

D．

5．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为（

）

A．2

B．

6．把长和宽分别为和2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，则顶点B和D的距离为______，

C．1

D．

异面直线AC和BD所成的角的大小为______.

7．直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，平面ABC所成的二面角的大小为________.

8．给出以下4个命题：

（1）已知A，B，C，D为空间任意点，则

（2）若

（3）为空间一组基底，则；

（其中x，y，z为实数），则；

构成空间的另一组基底；

，AA1=6，E为AA1的中点，则平面EBC1与

（4）对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若P，A，B，C四点共面.

其中正确命题有____________（写出所有正确命题的序号）.

9．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1，B1C1的中点. ，AB1与A1B相交于点D，M为

（1）求证：CD⊥平面BDM；

（2）求平面B1BD与平面CBD所成二面角的大小.

10．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E为PB的中点.

（1）求异面直线PD与AE所成的角的大小；

（2）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；

（3）在（2）的条件下求二面角F—PC—E的大小.

参考答案：

1．C

2．C

3．B

4．A

5．B

6．；.

7．

8．（1）（2）（4）

9．(1)略；（2）.

10．(1)

；

(2)AD中点；

(3).

空间向量与立体几何（1）

一、

教学重点： 1．掌握空间向量的运算及其坐标表示；

2．能用向量语言证明有关垂直、平行关系. 二、

教学内容： 1．空间向量的线性运算： 类比平面向量，拓展到空间.可填写下表. 平面向量与空间向量

平面向量

一、定义：_______________叫做向量. 二、向量的表示：

1．图形表示：

2．符号表示：

3．坐标表示：

三角形法则

空间向量

一、定义：______________叫做向量. 二、向量的表示：

1．图形表示：

2．符号表示：

3．坐标表示：

三、相关概念：

1．向量的长度（模）：____________. 2．零向量：_______________. 两个规定：___________________. 单位向量：_________________. 3．平行向量（共线向量）：________. 相等向量：___________________；

三、相关概念：

1．向量的长度（模）：____________. 2零向量：相反向量：___________________. 四、向量的运算

1．加法：

①若a=(x1,y1,z1)，

b=(x2,y2,z2)，则a+b=___.

②运算律：

加法交换律：__________________；

加法结合律：__________________；

（平行六面体，空间四边形）

2．减法：

①a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，

则a－b=____.

②

3．实数与向量的积

①若a=(x1,y1,z1)，则λa=________.

②当a=0时，λa=

当a≠0时，λa表示

________________. 两个规定：（1）与任意向量平行

（2）与任意向量垂直

单位向量：________________ 3．平行向量（共线向量）：________；相等向量：_________________；

相反向量：

__________________.

四、向量的运算

1．加法：

①若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，

则

运算律：设λ、μ为实数，那么

结合律：________________.

分配律：

（i）________________________；

（ii）_________________________.

4．空间向量的数量积：

①定义：

（i）a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，

则a· b=_________

（ii）a·b=__________

注：

b在a方向上的正射影数量：______

a·b的几何意义：_______________

a+b=________.

②

平行四边形法则

运算律：

②运算律：

（i）交换律：

（ii）数乘结合律：

（iii）分配律：

③重要性质：

（i）e·a=

（ii）a⊥b

加法交换律：________________；

加法结合律：____________；

（两个平行四边形）

2．减法：

①若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，

则a－b=______.

②∵a―b=a+(―b)

∴

（iii）当a与b同向时，a·b=

当a与b反向时，a·b=

特别：a·a=

或|a|=

（iv）cos=_________________

∵若a+x=b，则x=b－a

∴

（v）|a·b|≤

（vi）空间中两点A(x1,y1,z1)、

B(x2,y2,z2)的距离公式：

3．实数与向量的积

①若a=(x1,y1)，则λa=________.

②当a=0时，λa=________

当a≠0时，λa表示

运算律：设λ、μ为实数，那么

结合律：_________________.

分配律：

（i）________________________；

（ii）_______________________.

4．平面向量的数量积

①定义：

（i）若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，

则a·b=_____；

（ii）a·b=________________.

注：

1）θ的定义：

2）b在a方向上的投影数量：_______；

a·b的几何意义：_______________.

②运算律：

（i）交换律：

（ii）数乘结合律：

（iii）分配律：

③重要性质：

设a、b都是非零向量，e与b方向相同的单位向量，是a与b的夹角，

（i）e·a=

（ii）a⊥b

（iii）当a与b同向时，a·b=

当a与b反向时，a·b=

特别：a·a=

或|a|=

（iv）cos=

（v）|a·b|≤

（vi）平面内两点A(x1,y1)、

B(x2,y2)的距离公式：

注意：

①平面向量是同一平面内的平移；空间向量可在空间内平移.

②空间任意两个向量都是共面向量，因此，涉及空间两个向量的问题，平面向量的结论仍适用.

③运算律着重对图的理解，不要求严格证明.

④三个不共面向量之和的几何意义：平行六面体的体对角线向量.即平行六面体ABCD—A＇B＇C＇D中，. 2．空间向量的基本定理

①共线向量定理：与平面一样.

作用：证明直线与直线平行.

*推论：P、A、B三点共线的充要条件：

作用：证明三点共线.

②共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量、不共线，向量存在惟一实数对x、y使. 与向量、共面的充要条件是，其中O为任意一点，t为实数.

作用：证明直线与平面平行.

*推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：为实数，且x+y+z=1.

作用：证明四点共面.

③空间向量分解定理

如果三个向量、、不共面，那么对于空间任意向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z使，其中O为空间任意一点，x、y、z.、、均叫作基向量，

作用：空间向量坐标表示的理论依据.

2．两个向量的数量积：与平面一致.

作用：求两条异面直线所成角. 3．空间向量的直角坐标运算

若

，；

；

，，则

；

；

叫做空间的一组基底. .

作用：证明线线平行、线线垂直.

，，

；

4．直线的方向向量与直线的向量方程

①直线的向量方程：A、B在直线L上，P为直线L上任意点：

②证平行的向量方法：运用方向向量或法向量（前面的空间共面定理）. 5．有关平行

或与重合或在或与内

存在两个实数x，y，使且

重合6．证两条直线垂直和求所成角

7．平面的向量式

平面M过定点A，法向量为，则平面上任一点P满足：

作用：证明两个平面平行、垂直.

或与重合

四、典型例题

例1．

（1）求

（2）求；

；

，

（3）若

解析：

（1）

（2），求.

（3）

∴

例2．求证A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）四点共面.

法一：证

∵

，，∴

∴A、B、C、D四点共面.

法二：证

∵

显然，，

，

由共面向量定理，A，B，C，D四点共面.

法三：先求平面ABD的法向量，只需证

∵

设法向量，

，

.

∴，∴

令x=1，则y=1，

而

，∴

∴

∴

∴A、B、C、D四点共面.

法四：求平面ABC的方程，将D点坐标代入.

设平面ABC方程为ax+by+cz+d=0

将A、B、C三点坐标依次代入，得：

，∴

∴平面ABC方程为

显然D点坐标满足上述方程，

，即

故D在面ABC内，即A、B、C、D四点共面.

例3．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.

求证：EM∥平面A1B1C1D1.

证明：设，，

∴

∵

与、共面，又平面A1B1C1D1

∴EM∥平面A1B1C1D1

例4．如图，在正方形ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点，求证：

（1）PC⊥AF；

（2）AF∥平面PEC；

（3）AF⊥平面PDC，PD⊥平面AFE.

证明：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系.

∴A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），

C（2，2，0），P（0，0，2），

F（0，1，1），E（1，0，0）

（1），

∴

∴，∴PC⊥AF

（2）∵，

∴，∴，，共面

（3）∵，

而，

∴，，

∴AF⊥平面PDC.

∵，

∴，

AF∥平面PEC

∴

∴PD⊥平面AFE.

例5．已知：直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为棱BB1的中点.

求证：平面A1DC⊥平面ADC. ，∠BAC=90°，

证明：以A为原点，建立如图所示直角坐标系.不妨设AB=1，

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

B1（1，0，2），A1（0，0，2），C1（0，1，2）

∴D（1，0，1）

∴，

设平面A1DC法向量为

则

∴

，∴，

同理可得平面ADC法向量

∴，∴

∴平面A1DC⊥平面ADC

反思：除向量坐标方法外，可尝试用传统方法及向量方法证明.

例6．在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：

（1）直线EF∥面ACD；

（2）面EFC⊥面BCD.

证明：

（1）∵EF是△ABD中位线

∴EF∥AD，又EF

∴EF∥面ACD.

（2）∵F是BD中点，又CB=CD，∴CF⊥BD

又AD⊥DB

∴EF⊥DB

∴BD⊥面ECF

∴面BCD⊥面EFC

反思：此题用向量方法未必简单，选择方法应因题而异.

例7．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

（1）求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由. 面ACD，

解析：

（1）由已知条件可知ABCD为直角梯形，建立如图所示直角坐标系，不妨设OA=1

则A（1，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），B（1，1，0）

A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2）

∴

∴

（2）设E（0，x，0），∴∵，

，

，∴D1C⊥AC1

设平面A1BD法向量为∴而，∴，∴，∴x=1，

即E为DC中点. 课后练习

1．A（1，－2，11），B（4，3，3），C（6，－1，4），则△ABC形状是（

）

A．等腰三角形

B．等边三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

2．已知向量，且与互相垂直，则k值是（

）

A．1

B．

C．

D．

3．若空间三点A（1，5，－2），B（2，4，1），C（p，3，q+2）共线，则p=_______，q=_______.

4．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，，BC=6.

求证：BD⊥平面PAC.