1.2.1 充要条件教案及板书设计

1.2.1

充分条件与必要条件

一、教学内容解析：

1. 教学内容：

“充分条件与必要条件”是在pq时，对p与q之间关系的一种描述，是一个数学概念.“pq”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中p与q之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假.考虑到充分条件与必要条件的相对性，在判断上还需关注方向性.另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，从“形”上（韦恩图表示集合关系）帮助我们进一步理解充分条件与必要条件的内涵.

2. 知识地位：

“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用语》第二节的内容.逻辑是研究思维规律的学科，逻辑用语在数学中具有重要的作用.学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用.而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，在数学学科中大量的命题用它们来叙述“.充分条件与必要条件”是在前一节“命题及其关系”的基础产生的新知，也为后续“充要条件”的学习提供了保障.另外，本节课的学习可以对我们已经学习过的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习.

3. 思想方法：

充分条件与必要条件的知识学习过程中蕴含着数学发现中的观察、归纳、总结等方法，在知识的形成与运用中还体现了数学思维的合理性与严密性，以及数形结合的数学思想，这些都是数学的精髓.

4. 教学重点：

充分条件与必要条件.

5. 教学难点：

必要条件概念的理解.

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二、教学目标设置：

1. 理解充分条件、必要条件的意义；

能正确判断是否是充分条件或必要条件. 2. 通过对充分条件与必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性. 3. 通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受；

4. 通过对充分条件和必要条件与集合间的联系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯. 三、教学策略分析：

鉴于以上分析，为达成课堂教学目标，突出重点、突破难点，课堂教学主要贯彻与执行以下思路：

1. 坚持“师为主导，生为主体”的教学理念

本节课的教学，教师更多的要站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走，让学生更多的亲身体验数学的发现之美.通过独立思考、主动探究、合作交流，使学生切实学好数学知识，提高数学能力. 2. 问题引领、启发诱导，注重对学生的思维训练

教师通过问题引领、启发诱导，引导学生多角度的审视问题，让学生从不同角度去看待问题，分析问题，思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻.在充分条件与必要条件的概念教学中，为了更好的理解概念，可以通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）、不同概念间的联系（充分条件与必要条件和集合间的联系）来辅助概念教学.

3. 课堂教学层次鲜明、衔接自然，逐步培养学生数学学习能力

整个教学过程划分为七个环节：问题引入、铺垫过渡、新知建构、巩固新知、能力提升、牛刀小试、课堂小结.以问题为主线，为了解决问题，学习新知识，掌握了新知识再来解决问题.这样就把几个环节很自然地联系在一起，也为学生对新事物的普遍认识提供了一般性的指导. 五、教学过程：

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1. 问题引入：

问题1：同学们，前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题是真命题，有的命题是假命题，你能分别举出一些这样的命题的例子吗？

【设计意图】从学生已有知识体系出发提出问题，在学生的最近发展区构建新知，符合学生普遍认知规律.另外，对于充要条件和必要条件的学习涉及命题的真假，通过具体的例子有助于学生对这两个概念的理解. 2. 铺垫过渡：

“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，数学讲究简洁美，用符号语言，记作pq. 例如：

“若x1，则x0”为真命题, 即：“x1x0”；

【设计意图】通过对命题的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程. 3. 新知建构

下面我们探究命题中条件与结论之间的关系.“若p，则q”为真命题，由于p的成立可以使得q成立，我们就称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.

定义：一般地，如果有pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 结合学生之前举例，直观感知概念. 从定义可见，“充分条件”、“必要条件”是在“若p，则q”为真命题时，对命题中的p与q之间关系的一种描述，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

(1)若x3

，则x2；

(2)若x1

，则x24x30；

(3)若f(x)x，则f(x)在，上为增函数; 追问问题：对于命题(1)、(2)、(3)，我们可不可以称q是p的必要条件呢？

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【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程. 4. 巩固新知

练习1、判断下列问题中，p是q的充分条件吗？

(1)p: 两圆面积相等； q: 两圆半径相等；

(2)p: xa2b2 q: x2ab; (3)p: ab q: acbc；

(4)p: x

为无理数 q: x2为无理数; 问题：像在(3)(4)两个问题中p与q的关系应如何描述？

【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念. 练习2、判断下列各组问题中，q是p的必要条件吗？

（1）p:x3 q:x5 ; （2）p:ab q:ab0 ; （3）p:同位角相等 q:两直线平行 ; （4）p:四边形对角线相等 q:四边形是平行四边形 ; 【设计意图】提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”. 总结例1、练习1、练习2: （1）判断p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件，都是在判断“若p，则q”是否为真命题；

（2）“pq”与“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”之间是“三种表述，一个意思”. 问题2：在什么条件下，我们能说q是p的充分条件?p是q的必要条件？

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例2、用“充分条件”或“必要条件”填空：

（1）a5是a0的______________；

（2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________. 【设计意图】本例的设计和应用主要目的有：（1）强调“推出”符号的方向性；（2）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（3）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备. 课堂活动：请同学们自己举例给出p、q并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系. 【设计意图】让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识. 教师补充：p:xZ,q:xR,pq（p是q的充分条件，q是p的必要条件）

【设计意图】为讨论充分条件、必要条件与集合的联系做铺垫.

思考：

充分条件和必要条件与集合之间的联系

已知p:xA,q:xB，且pq，集合A与B间之间有怎样的关系？

（1）在A中，一定在B中：p成立，q一定成立；有它即可. （2）不在B中，一定不在A中：q不成立，p一定不成立；缺它不行. 【设计意图】从集合关系的角度帮助同学进一步理解“充分条件”和“必要条件”，并建立两者之间的联系，在提升学生对新知识的理解的同时，还可以使得学生对数学知识的掌握达到融会贯通的效果.

5. 能力提升

例3、

填空（写出一个满足题意的即可）

（1）“ab0”的一个充分条件是 ；

（2）“x3”的一个必要条件是 .

5 A B A、B

练习1、（1）“xa”是“x2”的充分条件，求实数a的取值范围；

（2）“xa”的一个充分条件是“x2”，求实数a的取值范围. 变式思考：将上述练习中“充分条件”改为“必要条件”，结果又会如何？

【设计意图】（1）引导学生观察问题的问法和之前例题有无不同，培养学生的观察能力；（2）从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么？”、“还存在什么问题？”，使后面的教学更有针对性！

6. 牛刀小试

练习：判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件以及p是不是q的必要条件？

(1) p: xx q:x20

；

(2) p:tan1 q:4；

(3) p: 直线l与平面内的两条相交线垂直 q: 直线l与平面垂直；

(4) p:函数f(x)满足f(0)0 q: 函数f(x)是奇函数. 结合练习，引导学生归纳如下：从练习中我们发现在p与q之间存在以下几种关系：

（1）pq且qp； （2）pq且qp；

（3）pq且qp； （4）pq且qp. 对于这几种关系我们应如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题. 【设计意图】反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，也在前面例3的基础上明确了充要条件涉及的四种类型，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础. 7. 课堂小结

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

（1）知识内容：

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①充分条件与必要条件的概念；

②充分条件与必要条件的判断；

③充分条件和必要条件与集合的联系. （2）思想方法：

学会观察、归纳、总结，进行探索发现，注意逻辑推理的合理性和严密性. 【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点. 8. 作业布置

（1）（必做题）课本第12页A组1、2 ，B组1；

（2）（选做题）判断下列命题的真假：

①“ab0”是“a2b2”的充分条件；

②“ab”是“ac2bc2”的必要条件；

③“AB”是“AB”

的必要条件；（其中A,B是集合）

④“函数fx是奇函数”是“fx为幂函数”的充分条件.

六、板书设计：

1.2.1充分条件与必要条件

一、定义： 二、与集合的联系： 三、例题（引例）：

如果pq，则称： p:xA,q:xB，

p是q的充分条件； 且pq，则AB. q是p的必要条件.

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