1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优秀教案范文

空间几何体的表面积和体积

能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；

用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．

一、展开图定义

一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．

二、特殊几何体的定义

1.直棱柱：__________的棱柱叫做直棱柱．

2.正棱柱：__________的直棱柱叫做正棱柱．

3.正棱锥：底面是_________，并且顶点在底面的_______是底面的中心的棱锥叫正棱锥．

正棱锥的性质：

（1）正棱锥的侧棱相等；

（2）侧面是全等的等腰三角形；

（3）侧棱、高、底面构成直角三角形．

4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．

正棱台的性质：

（1）正棱棱台的侧棱长相等

（2）侧面是全等的等腰三角形；

（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．

三、侧面积与表面积公式

1.

正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式

(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱的侧面积等于它的______和___的乘积．

(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式：

S正棱锥侧＝

直棱柱侧＝ch，即=.即正棱锥的侧面积等于它的_____和____乘积的一半．

(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝=. (4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S表＝_______＋_____.

1

2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式

(1)S圆柱侧＝(2)S圆锥侧＝(3)S圆台侧＝(r为底面半径，l为母线长)．

(r为底面圆半径，l为母线长)．

(R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)．

(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S表＝S底＋S侧. (5) 若圆锥底面的半径为r，侧面母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为则，

r360

l.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．

3.由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝四、体积

1.长方体的体积：

长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝_____. 2．棱柱和圆柱的体积：

(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝____. (2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝3．棱锥和圆锥的体积：

(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体＝(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝4．棱台和圆台的体积：

(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S，高是h，则它的体积是V台体＝(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝5．球的体积：

如果球的半径为R，那么球的体积V球＝6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．

这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等______、等______的两个柱体或锥体的体积相等．

7.

球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的______在这两点间的一段劣弧的长度．我们把这个弧长叫做两点的球面距离．

. . . . h. . 类型一

表面积

2

例1：已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是(

) 5A．2

B.

27C．3

D.

2练习1：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(

)

A．32

C．48

B．16＋162 D．16＋322

练习2：若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是(

) A．3π

B．33π

C．6π

D．9π

练习3：球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是(

) ππA.

B.

34πC.

D．π

2例2：用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为(

) 8A．8 B.

πC.42 D.

ππ练习1：(2014·浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(

) A．90cm2

B．129cm2 C．132cm2

D．138cm2 练习2：已知圆锥的表面积为12πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为(

) A.3cm

B．2cm C．23cm

D．4cm 练习3：某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(

) A．90cm2

B．129cm2 C．132cm2

D．138cm2 练习4：长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，

3

则这个球的表面积是________．

类型二

体积

例3：正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为(

) 11A.

B.

4239C.

D.

44练习1：已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－ABCD的体积和侧面积．

练习2：某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(

) A．3 B．2

C.3 D．1 例4：将长为a，宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V1，以b为轴旋转一周，所得柱体的体积为V2，则有(

) A．V1>V2

B．V1

C．V1＝V2

D．V1与V2的大小关系不确定

练习1：如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为(

) A．63 B．93 C．123 D．183 1练习2：一个圆柱的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的n倍，n则所得的圆柱的体积为原来的________．

例5：在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．

练习1：体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．

练***面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为(

) A.6π

C．46π

B．43π

D．63π

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