小结优质课一等奖

课 型

教学目标

教学方法

教 具

知

识

与

技

能

1.理解用空间向量判断立体几何中的平行与垂直关系的方法.

2.掌握运用空间向量求立体几何中的线线角、线面角、面面角(或二面角)的方法.

3.掌握运用空间向量求立体几何中的点、线、面相互之间的距离的方法.

4.熟悉空间向量作为工具在立体几何中的常规运用.

过

程

与

方

法

情感、态度与价值

观

学情分析

教学重点

教学难点

教学过程设计（含学法指导内容）

教 学 内 容

教师

学生

二次

活动

活动

备课

一、自主预学案：不看不讲

前面我们学习了空间向量在立体几何中分析空间中的平行与垂直关系、求空间角、求空间距离等方面有独特的作用,这说明空间向量与立体几何之间有着不可分割的联系,同时也说明了空间向量作为工具对我们在立体几何的学习中有着非常重要的作用,我们有必要好好熟悉并掌握.这一讲我们就来进一步探讨空间向量在立体几何中的综合应用问题.

问题1:直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线方向向量的求法:在直线上

两点A、B连成的向量

或

即为直线的方向向量;

(2)平面法向量的求法:设平面的法向量n=

,利用n与平面内的两个湖北省利川市第五高级中学

1

不共线向量a,b垂直,其

为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解(通常在令x、y、z中非零的数为

,得到一组解),即为平面的一个法向量.

问题2:空间中平行与垂直关系的判断

(1)平行关系的判断方法:设直线l1、l2的方向向量分别为a、b,平面α、β的法向量分别为m、n,则

①线线平行:通过证明

来判定l1∥l2;

②线面平行:通过证明

来判定l1∥α;

③面面平行:通过证明

来判定α∥β;

(2)垂直关系的判断方法

①线线垂直:通过证明

来判定l1⊥l2;

②线面垂直:通过证明

来判定l1⊥α;

③面面垂直:通过证明

来判定α⊥β.

问题3:空间角的求法

(1)线线角的求法:设直线l1、l2的方向向量分别为a、b,则直线l1、l2所成的角α满足cos

α=

;

(2)线面角的求法:设n是平面α的一个法向量,是平面α的斜线l的一个方向向量,则直线l与平面α所成角的正弦为sin

α=

;

(3)二面角的求法

①AB,CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小为

.

②设n1,n2分别是二面角α—l—β的两个平面α,β的法向量,则

,就是二面角的

或

.

问题4:空间距离的求法

(1)点到点的距离的求法:求以这两点为

的向量的

,即为这两点的距离;

(2)点到线的距离的求法:在直线l设一点C(x、y、z),求当标,则点P到l的距离d=|⊥时点C的坐|;

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(3)点到面的距离的求法:设n是平面α的法向量,AB是平面α的斜线段,则点B到平面α的距离d=

.

(4)线到面的距离的求法:可转化为

距离再用③中的方法求解.

(5)面到面的距离的求法:可转化为

距离再用③中的方法求解.

1.在平行六面体ABCD—A1B1C1D1,向量、、是(

).

A.有相同起点的向量

B.等长向量

C.共面向量

D.不共面向量

2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么下列向量中与直线AM垂直的向量是(

).

A.

B.BC

C.

D.

3.已知Rt△OAB中,∠AOB为直角,OA与OB的长度都为2,CB垂直于三角形OAB确定的平面,且3||=||,则向量的模是

.

4.如图所示,已知▱ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°, PA⊥平面ABCD,且PA=6,求PC的长.

二、合作探究案：不议不讲

向量在柱体模型中的应用

如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.

(1)求证:B1E⊥AD1.

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(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.

(3)若二面角A—B1E—A1的大小为30°,求AB的长.

向量在锥体模型中的应用

如图,在三棱锥P—ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.

(1)求证:DE∥平面PBC;

(2)求证:AB⊥PE;

(3)求二面角A—PB—E的大小.

用向量解决折叠、翻转模型的立体几何问题

如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+,过A作AE⊥CD,垂足为E.F、G分别是CE、AD的中点.现将△ADE沿AE折起,使二面角D—AE—C的湖北省利川市第五高级中学

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平面角为135°.

(1)求证:平面DCE⊥平面ABCE;

(2)求直线FG与平面DCE所成角的正弦值.

自主探究：（备用例题或课后讨论）

已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a.

(1)求点C1到平面AB1D1的距离;

(2)求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角的余弦值.

如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,且AB∥CD,∠BAD=90°,PA=AD=DC=2,AB=4.

(1)求证:BC⊥PC;

(2)求点A到平面PBC的距离.

如图,已知三角形△ABC与△BCD所在的平面互相垂直,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,点P,Q分别在线段BD,CD上,沿直线PQ将△PQD向上翻折,使D与A重合.

(1)求证:AB⊥CQ;

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(2)求直线AP与平面ACQ所成的角.

三、训练案：不做不讲

1.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足为(

).

A.0°

B.90°

C.60°

D.30°

的模为(

).

·=0,·=0,则<,>的值2.已知正方形ABCD的边长为4,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则向量A.6

B.9

C.4

D.5

3.底面是正方形的四棱锥A—BCDE中,AE⊥底面BCDE,且AE=CD=a,G、H分别是BE、ED的中点,则GH到平面ABD的距离是

.

4.如图,在五棱锥P—ABCDE中,∠BAE=90°,DE∥AB,PA=AB=AE=2a,PB=PE=2a,BC=DE=a,求二面角A—PD—E的余弦值.

(2013年·广东卷)如图甲,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图乙所示的四棱锥A'—BCDE,其中A'O=.

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(1)证明:A'O⊥平面BCDE;

(2)求二面角A'—CD—B的平面角的余弦值.

考题变式(我来改编):

【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F.

（Ⅰ）证明：EF//B1C；

（Ⅱ）求二面角EA1DB1余弦值.

板书设计

作业布置

教学反思

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