3.1.2 导数的概念教案设计（一等奖）

一、课题：导数的概念

学校

学科（版本）

课时

二、教学目标

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数。

邝维煜纪念中学

数学（人教A版选修1-1）

第 1 课时

教师姓名

章节

年级

刘锋

第三章3.1.2 高二

三、学习者分析

导数对学生来说是一个新的概念，教学中可与物理中的一些概念相联系，学生会相对容易接受。

四、教学重难点分析及解决措施

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念．

复

习

引

当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的2内 容

【回顾1】

师生活动

学生相互交流探讨瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处. 设计意图

针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.

高度为：H(t)4.9t6.5t10，问在2秒时运动员的入

瞬时速度为多少？

提

出

问

题

【回顾2】

已知曲线C是函数f(x)4.9x6.5x10的图象,求曲线上点P(x0,y0)处的切线斜率.

【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？

2

1

类

比

探

索

形

成

概

念

内 容

【思考】考虑求一般函数y=f(x) 在点x0到师生活动

引导学生利用求瞬时速度的方法和思想类比探究，猜想得出函数在点x0处的变化率lim设计意图

用具体到抽象，特殊到一般x0+x之间的平均变化率的极限问题，也就是怎样计算函数在点x0处的变化率？

引出导数定义后，回归问题情景，反思概念的“原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质. y的思维方式，利

x0x=limx0f(x0x)f(x0),并对类比迁移，自然x引出函数在一点处可导和导数的概念.

用瞬时速度进行猜想的合理性进行分析后，引出

定义1：（函数在一点处可导及其导数）

剖析概念 加深理解

类

比

探

索

形

成

概

念

【探讨1】

怎样判断函数在一点是否可导？

判断函数yf(x)在点x0处是否可导 转化

引导学生以组织学生阅读“导数”定义，数学语言的理抓住定义中的关键词“可导”与“导数”交流探讨，然后通过师生互动挖掘这些概念之间的深层含义.

解、把握、运用为切入点去揭示概念的内涵与外延，提高学生数学阅读和自主学习的能力.

让学生感受数学文化的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值. 判断极限x0limf(x0x)f(x0) 是否存在

x

【探讨2】导数是什么？

描述角度

文字语言

符号语言

图形语言

本 质

瞬时变化率

x0分析导数的本质后，同时简单提及导数产生的时代背景.

limy

x（切线斜率）

2

类

比

探

索

形

成

概

念

内 容

【探讨3】求导数的方法是什么？

【例1】求函数y=x在点x1处的导数.

2师生活动

让学生类比瞬时速度的问题，根据导数定义归纳出求函数yf(x)在点x0处导数的方法步骤：

（1）求函数的增量；

（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数.

学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用。

设计意图

用定义法求导数是本课的重点之一.有了可导这个逻辑基础，导数成为可导的自然结果，求导数的方法则是对导数概念的理解与应用.让学生积极主动参与，进行有意义的建构，有利于重点知识的掌握.

引

申 拓

展

发

展

概

念

利用例1继续设问，函数在x1处可导，那么x-1，x2，x3这些点也可导吗？从而引申拓展出定义2：（函数在开区间(a,b)内可导）

【探讨1】函数在开区间内可导，那么对于每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相对应，这样在开区间内存在一个映射吗？

【探讨2】存在的这个映射是否构成一个新的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则分别是什么呢？ 师生互动，共同探讨归纳函数在开区间(a,b)的每一点可导，每一点就有确定的唯一的导数.这样在开区间通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展区”，引导学生主动将新问题与原认知结构中函数的相关知识相(a,b)内构成一个特殊的映射，这里的映射是数集到数集的映射，就是函数，我们把这个新函数叫做f(x)在开区间联系，自然引入导函数概念，从而完成从函数在一点可导(a,b)内的导函数。它的定义函数在开区间内可导域是

函数在开区间内的导函数的两次拓展.

3

内 容

师生活动

设计意图

开区间(a,b)，对应法则是对开

【探讨3】怎样求新函数的解析区间内每一点求导.运用函数本例共两引

式？

思想，只要把求一点处的导数个小问，第(1)申

x小问是教材上拓

探讨后引出定义3：（函数0替换成x，就可以求出导函的一道例题, 展 yf(x)数的解析式. 在开区间(a,b)内的导函数）

第(2)小问是补

充题.两问都是发

分学习小组让学生动脑求导数，但它们展

【例2】已知y=x，求（1）y′;（2）思考，动手“操作”，相互交流。

有本质上的区概

y′|x=2. 别！ 念

内 容

设计意图

练习：

设计练习1，巩固求导方练

1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2. 法；

设计练习2，通过适当习

2．设函数f(x)在x0处可导，则的变式训练，揭示概念的内反

f(x0x)f(x0x)涵，提高学生的模式识别的馈 limx0x等于

能力，培养学生思维的深刻

A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0) 性和灵活性；设计练习3，体

3．

已知一个物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关验实际应用，展示概念的外巩

系S（t）＝-2t2+5t 延，让学生认识到数学来源固

（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度；

于生活并应用于生活.通过概

（2）求物体在t时刻的瞬时速度；

练习，反馈学生对知识技能念

的掌握情况，以便及时调节（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么教学，更好的达成教学目标. 运动？

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