3.1.1 空间向量及其加减运算ppt配套的教案及板书设计

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：

1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘；

2．了解空间向量的基本定理；

3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：

理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法

三、教学方法：

探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

（二）、知识梳理，方法定位。

1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率

OBOAABab BAOAOBab

OPa(R) 加法交换率：abba.

加法结合率：(ab)ca(bc).

数乘分配率：(ab)ab.

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

 注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数使b＝a

（1）对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为 |a|，当>0时与a同向，当<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l∥a，Al，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

推论：如果

l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OPOAta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取ABa，则①式可化为 OP(1t)OAtOB. ②

当t1时，点P是线段AB的中点，则 OP1(OAOB). ③

22①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

（三）．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。

题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABa，A1DABD1MB1CC1ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）

111111abcabcabc (D) (B)

(C)(A)22222211abc

22111abc；答案为解析：显然BMBB1B1M(ADAB)AA1222A。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例3、已知：a3m2n4p0,b(x1)m8n2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,求x,y的值. 解：a∥b,,且a0,ba,即(x1)m8n2yp3m2n4p.

x182y,x13,y8.

又m,n,p不共面,324点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。