2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案设计（一等奖）

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4 平面与平面之间的位置关系

教学内容解析

1.

教材内容及地位

本节是人教A版《必修2》第二章第一节《空间点、直线、平面之间的位置关系》的第三课时，主要学***面的位置关系和平面和平面的位置关系。

点、线、面的位置关系是立体几何学习的核心内容，空间直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系是立体几何最重要的位置关系，它对高一学生进一步学习立体几何知识有着至关重要的作用，为以后研究空间角，空间距离等知识奠定了基础，同时对培养高一新生的空间想象能力，作图能力，思维能力等有着重要的意义和作用。

2．教学重点

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系的理解；学生的观察能力、空间想象

能力和基本作图能力的培养。

3. 教学难点

空间中直线与平面、平面与平面位置关系的三种语言，即文字语言、图形语言和符号语言的表达。

一、

教学目标解析

1.

认知目标

学生通过对自然界景物及长方体模型的观察，通过动手操作模型，直观确认空间中直线与平面之间的位置关系、平面和平面的位置关系，培养学生的观察能力、空间想象能力。

2.

能力目标

教会学生用三种语言表示出直线与平面、平面与平面之间的位置关系，培养学生基本作图能力，体验用数学刻画自然界事物之间关系的方法，锻炼学生探究、概括的学习能力。

3.

情感目标

培养学生积极参与、合作交流的主体意识，培养学生勇于探索的精神，提升自主学习能力，培养学生热爱家乡的情感。

二、

学生学情分析

1.

教学有利的因素

学生在《必修2》第一章的学习中，经历了从空间几何体的整体观察入手，整体认识空间图形的过程，对点、线、面有了整体的印象和初步认识。本节知识与学生生活联系密切，可以在学生的生活世界中找到模型，用直观感受的方法学***面的位置关系、平面与平面的位置关系，符合学生的认知规律，学生易于理解和掌握。学生已经学习了空间两直线的位置关系，可用类比的方法学***面的位置关系。

2.

教学不利的因素

学生在认识图形时，往往停留在平面图形上，空间想象能力较差。学生通过对实际模型的认识，将文字语言转化为图形语言和符号语言较弱。

三、

教学策略分析

在学生学习空间直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系时，学生可能会存在两

方面的困难：一是从实际生活中，直观感知认识直线和平面的位置关系和平面与平面的位置关系，并有序的建立图形，文字，符号这三种数学语言。二是在判断有关线面位置关系问题时，经常会漏解，考虑问题不够全面。

为了达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我主要采取以下教学形式：

（1）指导思想，充分发挥多媒体形象，动态的优势，借助生活中的图片，让学生经历从实际生活中抽象出空间图形的过程，通过直观感知，认识线面、面面的位置关系。

（2）让学生动手操作演示空间中直线与平面，以及平面与平面的位置关系，,加深对这些位置关系的理解和掌握。

（3）从线，面的基本图形入手，有序的建立文字，图形，符号这三种语言。

（4）通过例题讲解，加深学生对线线，线面，面面位置关系的理解和掌握。

四、

教学过程

1.教学导图：

从下渚湖的美景中复习空间中两条直线的位置关系

从下渚湖的美景中直观感受空间中直线与平面之间的位置关系

动手操作演示，总结空间中直线与平面之间的位置关系，画法及符号表示

讲解例1，例2.

以二层楼房示意图引入平面与平面之间的位置关系

观察总结平面与平面之间的位置关系

思考各种位置关系公共点的情况

讲解例3.

课堂总结，课堂延伸，课堂探究

2．教学情境设计：

（一）创设情境，复习回顾。

师：请同学们和我一起来欣赏一下美丽的景色？

（图1）

美丽的下渚湖——我们家乡著名的旅游景点。我们身

边的景色，从数学的角度来看，都是由点，线，

面

构成的。今天，我们就从身边的事物来了解直线与平面，

平面与平面的位置关系。

首先，我们从这张图中，一起回顾空间中两条直线的位置关系。（PPT展示栏杆所在的直线）

图1

师生：学生回答，教师整理。

（1）空间中两条直线的位置关系

相交直线

同一平面内，有且只有一个交点；

共面直线

共面直线

同一平面内，没有公共点；

异面直线

不同在任何一个平面内，没有公共点；

（2）复习并强调立体几何的三种语言，即文字语言，符号语言，图形语言。（详见PPT）

设计意图：从下渚湖的美景中激发学生对故土的热爱，了解数学来源于生活。借助图片中栏杆所在的直线，复习空间中直线与直线的位置关系。要求学生在学习立体几何时，重视文字、图形和符号三种语言的转化，并强调异面直线的画法——以平面作衬托。

第一部分：直线与平面之间的位置关系。

（二）直观感知，建构概念。

师：我们再来欣赏下渚湖的景色（图2），

静静的湖面上有一只小船，湖面，我们可以看成

平面，小船可以看成一直线。那么，这条直线和

平面的位置关系怎样呢？公共点的个数呢？

生：船所在的直线在湖水平面内，它们有无数个

公共点。

图2

师：观察（图3）美丽的油菜花田看成是一个

平面，我们把电线杆看成是一条直线。那么，这

条直线和平面的位置关系怎样呢？公共点的个

数呢？

生：这时直线与平面有一个公共点，直线和平面

相交。

图3

师：观察（图4）栏杆所在的直线和地平面的

位置关系怎样呢？公共点的个数呢？

生：栏杆所在的直线与地平面是平行的，无交点。

师：刚才，我和大家在图片中直观的感受了直线

图4 和平面的位置关系，接下来，请同学们拿出一支

笔和一本作业本作为直线和平面，动手操作探索一下。直线和平面的位置关系怎样？

生：用铅笔和作业本演示各种位置关系。不难回答：直线与平面有三种位置关系。

师生：学生总结，空间中直线和平面的位置关系有且只有三种：

（1）

直线在平面内——有无数个公共点。

（2）

直线与平面相交——有且只有一个公共点。

（3）

直线与平面平行——没有公共点。

设计意图：引导学生从实际生活出发，把数学知识同周围的现象联系起来，注重让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的过程。“直观感知，操作确认”是新课标提倡的学习空间几何的新的方式手段。通过图片的直观感知，让学生知道数学来源于生活，通过动手操作，让学生观察得出空间中直线与平面之间的各种位置关系，明确公共点个数情况。

师：请同学们写出直线与平面三种位置关系的图形语言。

师生：教师启发，学生作图。直线a在平面内，应把直线a画在表示平面的平行四边形内，直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边；直线a与平面相交，交点到水平线这一段是看不见的，注意画成虚线或不画；直线a与平面平行，直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行，又要画在平行四边形之外。如下图所示：

师：观察学生作图情况，发现部分作图问题（投影下列各图），请问下列图形能不能明确表示出直线a与平面的位置关系？

生：观察后，不能。

师：强调。因为这些作法不能明确表示直线a与平面的位置关系，所以作图时我们不提倡这种画法。

师：如何用符号表示直线与平面的三种位置关系？

师生：教师启发：由于直线和平面都可以看成点的集合：学生能够回答：

（1）直线a在平面内，记作：a

（2）直线a与平面相交，记作：aA

直线a不在平面内，记作：

a。（3）直线a与平面平行，记作：a//

设计意图：让学生用纸笔演示空间中直线与平面之间的三种位置关系，为学生画图提供了方便，学生很自然的把平面画成平行四边形，并探索出这三种位置关系的画法，得到了直线与平面位置关系的图形语言。在此基础上，引导学生写出相应的符号语言，符合学生的认知规律，培养学生的空间观察能力、作图视图能力，同时符号表示直线与平面的三种位置关系为以后证明书写提供方便。

师：请同学们找一下身边的直线与平面，它们的关系怎样？

生：天花板所在的平面与电灯所在的直线是平行的；墙角所在的直线与地平面是相交的；

黑板内的直线在黑板平面内等等。

D

师：接下来，我们从几何图形中，来观察线面关系。

C

问题1：线段AB所在直线与长方体ABCDABCD

A

B

的六个面所在平面的位置关系？

生：直线AB在平面ABBA内；

D

C

直线AB与平面DCCD平行；

直线AB与其他四个平面相交；

A

B

师：如何判断直线AB在平面ABBA内？

aaaaaa

师生：学生回答，因为AABBA，BABBA，所以直线AB在平面ABBA内。

教师小结：（公理1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

设计意图：让学生在身边找线面的位置关系，再次让学生体会数学来源于生活，是从生活中抽象出来的，加深学生对线面位置关系的直观感受。长方体是学生熟悉的几何模型，让学生在长方体中体验线面位置关系，加深学生对线面位置关系的认识，为解题提供方便。

（三）新知运用，巩固深化。

例1.

判断下列命题的正误。

（1）

若直线l上有无数个点不在平面内，则l//。

（

）

（2）

若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行。（

）

（3）

若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点。（

）

（4）

如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行。（

）

（5）

平行于同一平面的两条直线一定是两条平行直线。（

）

师生：学生思考并利用笔和纸演示直线与平面的各种位置关系，得出各小题的答案。

教师小结：（1），（2），（4），（5）错误，（3）正确。并引导学生利用长方体模型来解决例1，展现长方体模型在解题方面的优势。

例２.若直线a不平行平面，且a，则下列结论成立的是（

）

(A)内所有直线与a异面

(B)内不存在与a平行的直线

(C)内存在唯一的直线与a平行

(D)内的直线与a都相交

师生：讨论可得，直线与平面相交，画出图形，作出正确判断。答案：B. 设计意图：例１，例２，是针对空间直线和平面的位置关系给出的一个巩固练习，是基本概念的应用，在判断时借助长方体模型，将更直观，更明了。同时也为学***面平行的性质定理和判断定理奠定基础。

第二部分：平面与平面之间的位置关系。

（二）直观感知，建构概念。

师：观察二层楼房的示意图（见ＰＰＴ），并动态演示第一，二层的底面，前后两面房顶。

生：观察后，用两本书动手演示，合作交流，得出两个平面要么有一条公共的交线，要么两个平面没有公共点。

师：两个平面有哪些位置关系？

生：两个平面之间有且只有两种位置关系：

（１）

两个平面平行――没有公共点；

（２）

两个平面相交――有一条公共直线；

设计意图：引导学生从实际生活出发，

“直观感知，操作确认”是新课标提倡的学习空间几何的新的方式手段。通过图片的直观感知，让学生知道数学来源于生活，通过动手操作，让学生观察得出空间中平面与平面之间的两种位置关系。

师：请学生多举几个生活中的实例，来说明平面与平面的位置关系。

如何刻画平面与平面之间的位置关系？画法及符号表示。

生：学生思考，并作图，请两位学生在黑板上作图。

师生：观察并交流。

（１）

画两个平行平面的要点：表示平面的平行四边形的对应边互相平行，如

（２）

画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段，成图时注意不相交的直线相互平行且等长，不可见的部分画成虚线或不画。

////l

设计意图：通过平面与平面之间的位置关系的画法及符号表示，让学生从图形的角度进一步理解平面与平面的位置关系，培养学生的空间观察能力和视图作图能力。

师：接下来，我们从几何图形中，来观察线面关系。

DC问题2：长方体ABCDABCD的底面ABCD与

其余5个面的位置关系怎样？

AB

D生：底面ABCD与平面ABCD平行，

C

底面ABCD与四个侧面相交。

A

B

设计意图：让学生在长方体中体验面面位置关系，

加深学生对面面位置关系的认识，为解题提供方便。

师：课堂思考: （１）

直线与直线，直线与平面，平面与平面他们之间没有公共点就平行，这句话对吗？为什么？

（２）

直线与直线，直线与平面，平面与平面他们之间有1个公共点时，他们的位置关系如何？

生：讨论并回答。

师生共同总结：（从公共点的角度来看）

相交

平行

直线与直线

在同一平面内，没有公共点

直线与平面

没有公共点

平面与平面

有一条公共直线

没有公共点

在同一平面内，有且只有一个公共点

有且只有一个公共点

特别:

两直线异面：不同在任何一个平面内，没有公共点。

直线在平面内：有无数多个交点。

设计意图：让学生从公共点的角度类比直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，进一步加深学生对线线，线面，面面位置关系的理解。

（三）新知运用，巩固深化。

例3.（1）已知平面,，直线a,b，且//,a,b，则直线a与直线b关系是______. （2）已知a,b是两条相交直线，直线a//平面，则直线b与平面的位置关系是_______. （3）已知a,b是两条异面直线，直线a//平面，则直线b与平面的位置关系是_______. （4）若不在同一直线上的三点A,B,C到平面的距离相等，且A,B,C，则面ABC与面的位置关系为________. 师生：学生逐个讨论以上问题，实物模型（让学生借助笔和纸演示）或利用长方体模型解决。

答案：（1）平行或异面

（2）平行或相交

（3）平行，相交，在平面内（4）平行或相交

设计意图：复习直线与直线，直线与平面，平面与平面的三种位置关系加深学生对线线，线面，面面位置关系的理解。此类题目学生在解题时容易漏解，借助实物模型或长方体模型解题较好。

（四）归纳小结，整合知识。

1. 直线与平面的位置关系（见PPT）

2．平面与平面的位置关系

（五）课堂延伸，探索新知。

课堂探索

1.

如果三个平面两两相交，那么他们的交线有多少条？画出图形表示你的结论？

2.

两个平面把空间分为几部分？三个平面把空间分成几个部分？

师生活动：引导学生在身边找实物模型，并画图。

1.

答案：书本翻开成三部分（交线为一条）；三个平面（交线三条）；墙角（交线三条）；

如图。

把平面延展后，可得

2. 答案：两个平面把空间分为3或4部分，

三个平面把空间分成4或6或7或8部分。

n个平面最多把空间分成(n35n6)/6个部分。

设计意图：针对平面与平面之间的位置关系给出的一个巩固练习，用于理解和巩固线，面之

间的位置关系；同时培养学生空间想象能力和作图能力，提高学生的几何素养。

（六）课后作业，巩固提高。

五、

教学反思

1.

直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的认识。

本堂课教学内容从学生身边的事物展开，利用直观感知，动手操作，学习了线面位置关系及面面位置关系，与学生生活联系密切，易于理解掌握，但在具体解题时，学生考虑问题不够全面，常常会遗漏某些情况。

2. 对于学生作图能力的培养。

在教学过程中，学生经历从实际背景中抽象出空间图形，通过对实际模型的认识，学生对直线和平面的位置关系及平面和平面位置关系有了初步的认识。但在作图时，学生存在一定的困难，作图的规范性较差，特别是平面与平面相交的图形语言，学生在作图时，有困难。在今后的教学中，应加强学生的作图能力训练，为立体几何中空间角和空间距离打好基础。

3. 教学设计的反思。

本堂课着重加强数学和日常生活的联系，注重帮助学生学会用数学语言来描述生活中的物体所反映的直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系，遵循了从感性到理性的认识规律。本设计重视了直观想象的运用。通过观察模型、动手操作、发现线线关系、线面关系、面面关系，用运动变化的眼光来分析问题，利于培养学生的观察能力、想象能力和作图能力。

面面关系与线面关系内容结构基本相同，把两节内容整合设计为一节来设计，保持了知识的连续性和整体性，由此及彼，有利于学生在类比中学习，在联想中升华。