2.2.4 平面与平面平行的性质第一课时教学实录

第二章

2.2

2.2.4

基础巩固

一、选择题

1．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面(

) A．有公共点

C．平行

[答案]

D 2．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为(

) B．没有公共点

D．平行或相交

A．0

C．2

[答案]

B [解析]

∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B．

3．下列命题中不正确的是(

) A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β

B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β

C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行

D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

[答案]

A [解析]

对于A，直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形的两条边必相交，这两条相交边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B，D也正确，故选A．

4．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是(

) A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

B．1 D．无数

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

[答案]

D [解析]

选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；

选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；

选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；

选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D．

5．已知两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：

①α∩β＝m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；

②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；

③m∥n，m∥α⇒n∥α；

④α∩β＝m，m∥n⇒n∥β且n∥α. 其中正确命题的序号是(

) A．①

C．④

[答案]

A 6．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α、β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OAOA′＝的面积为(

) A．3

9B．3

3，则△A′B′C′B．①④

D．③④

23C．

9[答案]

C [解析]

如图∵α∥β，

23D．

3∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，

ABOA33且由＝＝知相似比为，

2A′B′OA′2又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，

113知S△ABC＝AB·CD＝AB·(AC·sin60°)＝，

222

23∴S△A′B′C′＝. 9二、填空题

7．(2015·东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.

[答案]

平行四边形

[解析]

∵平面ABFE∥平面CDHG，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，

平面EFGH∩平面CDHG＝HG，

∴EF∥HG. 同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形．

8．已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34. (1)若点S在平面α，β之间，则SC＝________. (2)若点S不在平面α，β之间，则SC＝________. [答案]

(1)16

(2)272 [解析]

(1)如图a所示，因为AB∩CD＝S，所以AB，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．

SASCSASC因为α∥β，所以AC∥BD．于是＝，即＝. SBSDAB

CDSA·CD8×34所以SC＝＝＝16. AB9＋8

SASC(2)如图b所示，同理知AC∥BD，则＝，

SBSD

8SC即＝，解得SC＝272. 9SC＋34三、解答题

9. (2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．求证：CE∥平面PAD．

[分析]

证明线面平行，有两种思路：(1)利用线面平行的判定定理，通过线线平行证明线面平行；(2)利用面面平行的性质，证明线面平行．所以本题可以从两个角度考虑，一是在平面PAD中找与CE平行的直线，二是构造过CE且与平面PAD平行的平面．

[解析]

方法一：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH.

因为E为PB的中点，

1所以EH∥AB，EH＝AB．

21又AB∥CD，CD＝AB，

2所以EH∥CD，EH＝CD．

因此四边形DCEH是平行四边形，

所以CE∥DH. 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

因此CE∥平面PAD．

方法二：如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，

1所以AF＝AB．

21又CD＝AB，所以AF＝CD．

2又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，

因此CF∥AD．

又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD．

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．

又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD．

10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？

[解析]

如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M. 假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．

故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 能力提升

一、选择题

1．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(

) A．平行

C．AC在此平面内

[答案]

A [解析]

利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行．

2．下列说法正确的个数是(

) ①夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；②夹在两个平行平面间的等长线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；④平行于同一条直线的两个平面平行．

A．1

C．3

[答案]

A B．2

D．4 B．相交

D．平行或相交

[解析]

只有①正确．②中的两条线段还可能相交或异面；③中的直线还可能在另一个平面内；④中的两个平面还可能相交．

3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，过点B的所有直线中(

) A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．有且只有一条与a平行的直线

[答案]

D [解析]

由直线a和点B确定一个平面γ，γ∩β＝b，则b就是唯一的一条满足条件的直线，选D．

4．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C(

) A．不共面

B．不论A、B如何移动，都共面

C．当且仅当A、B分别在两直线上移动时才共面

D．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

[答案]

B 二、填空题

5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________.

[答案]

平行四边形

[解析]

∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

6.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为________.

①AC⊥BD；

②AC∥截面PQMN；

③AC＝BD；

④异面直线PM与BD所成的角为45°. [答案]

①②④

[解析]

∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系．故填①②④. 三、解答题

7．(2015·广东汕头模拟)直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2CD＝2.若P为A1B1的中点，求证：DP∥平面ACB1，且DP∥平面BCB1.

1[证明]

由P为A1B1的中点，得PB1∥AB，且PB1＝AB．

21又∵DC∥AB，DC＝AB，

2∴DC∥PB1，且DC＝PB1. ∴四边形DCB1P为平行四边形．

从而CB1∥DP. 又CB1⊂面ACB1，DP⊄面ACB1，所以DP∥面ACB1. 同理，DP∥平面BCB1. 8．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．

[解析]

(1)取PD的中点H，连接AH，NH，

∵N是PC的中点，

1∴NH綊DC．

2由M是AB的中点，且DC綊AB，

∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．

∴MN∥AH. 由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD．

(2)连接AC并取其中点O，连接OM、ON，

11∴OM綊BC，ON綊PA．

22∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，

由MN＝BC＝4，PA＝43，得OM＝2，ON＝23. ∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，

即异面直线PA与MN成30°的角．