3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学内容分析

《直线的倾斜角与斜率》教案

泸县二中 李俊宏

教学目的：

1.了解

“坐标法”；

2.理解直线的倾斜角与斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；

3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率

；

4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角

；

5.让学生感知“数形结合”的数学思想. 教学重点：

斜率概念

、斜率公式，用代数方法刻画直线斜率的过程.

教学难点：

1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.运用两点坐标计算直线的斜率

授课类型：

新授课 教学过程：

一.知识背景与课题的引入

1.解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一. 在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法. （目的了解解析几何的历史背景，引起学生的学习兴趣）

本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等. 2．课题的引入

下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率. 二.新课

1.打开视野

问1：对于平面直角坐标系内的一个点P，它的位置由哪些条件确定呢？

问2：对于平面直角坐标系内的一条直线

它的位置由哪些条件可以确定呢？

思考：一个点可以确定一条直线的位置吗? （通过三个问题，逐步将学生引向新课的学习，启发学生思考）

观看视频寻找答案。思考并发现其中舞蹈者最后的舞蹈变化，感知倾斜。然后将这些动作抽象成直线，放到直角坐标系中。

1

追问：在直角坐标系中，这些直线有什么相同点和不同点？

（让学生感受数学源于生活）

最后通过几何画板的展示引出倾斜角的定义：

2.倾斜角的定义

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做这条直线的斜率；

规定:平行于x轴或与x轴重合的直线的倾斜角为0；

0直线倾斜角的取值范围：0180. 003.求下列直线的倾斜角的大小：

y

y550yO

1300xOxOαxy

O

αyl//

l1 2yl1300l2xO1500xOx

（学生快速完成，从中发现倾斜程度不同，直线的倾斜角就不同，这样就可以利用倾斜角来表示直线的倾斜程度）

4.思考并回答：

问：已知直线上一个点能确定直线的位置吗？

问：已知直线的倾斜角能确定直线的位置吗？

确定一条直线在平面直角坐标系中位置的几何要素：点、倾斜角（缺一不可）. （此处设计是为了解决起初提出的问题，并引出确定一条直线的位置的第二种方式）

5.斜率定义

问：倾斜角可以描述直线的倾斜程度，日常生活中我们还有什么量可以描述直线的倾斜程度呢？

答：坡度(比)=坡度(比)= 升高量前进量

2

坡度（比）

升高量前进量

|CB|tanα|AB|

（从初中学过的坡度比引出与倾斜角相关的量，从而引出斜率的定义）

斜率的定义：如果是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作:ktanα(900)

6.填空

倾斜角

斜率

（学生根据填写的表格讨论并发现其中的结论）

00

300

450

(1)倾斜角互补，斜率互为相反数；

00 (2)当倾斜角在090

时，斜率

k0，斜率随着倾斜角的增大而增大；

0 (3)当倾斜角在90时，斜率k不存在；

00 (4)当倾斜角在90180时，斜率k0，斜率随着倾斜角的增大而增大；

600

900

120

1350

1500

0 (5)倾斜角不同，斜率也不同. 7.及时延伸

确定一条直线在平面直角坐标系中的位置：

方式1：一点以及倾斜角；方式2：两点；

问：还有别的方式吗？

答：一点以及斜率. （此处追问学生：倾斜角可以转化到斜率上，那么两点能转化到斜率上吗？）

8.探究：由两点确定的直线的斜率

①当直线的倾斜角为锐角时：

（1）已知A(1,0)，C(5,7)，求直线AC的斜率？

（2）已知A(x1,0)，C(x2,y2)，求直线AC的斜率？

3

（3）已知A(x1,y2)，C(x2,y2)，求直线AC的斜率？

（三个问逐步深入：最后得到倾斜角为锐角时的直线斜公式ky2y1）

x2x1yP2(x2,y2)P1(x1,y1)②当直线的倾斜角为钝角时：讨论如何利用直线上的两点求直线的斜率？

（在上一问的基础上，引发学生讨论）

结论：设直线l经过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则斜率可表示为ky2y1. x2x1ox思考：(1).当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

(2).当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

（通过上面的几个问题，最后完善直线的斜率公式）

我们得到经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率为：ky2y1x2x1

三.例题分析

例1:已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？

变式：已知A(m,2)、B(0,-2)，求直线AB的斜率，并判断直线的倾斜角是锐角还是钝角？

四.小结

谈谈你本节课的收获？

五.课后作业

习题3.1A组1—5题、B组第6题. 六．板书设计

倾斜角与斜率

1.倾斜角的定义、取值范围

1.教学引导

电子显示屏幕

2.斜率的定义

3.斜率公式

2.学生展示区

七．课后反思

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