1.4.1 全称量词板书设计

1.4全称量与存在量词学案

新人教A版选修1-1

►基础梳理

1．全称量词与全称命题．

短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．

通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

2．存在量词和特称命题．

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．

3．全称命题的否定．

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．

全称命题的否定是特称命题．

4．特称命题的否定．

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．

特称命题的否定是全称命题．,►自测自评

1．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，2x∈{有理数}．

2．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．

1．下列命题是特称命题的是(D) A．偶函数的图象关于y轴对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．不相交的两条直线是平行直线

D．存在无理数大于等于3 2．有下列命题：

(1)所有的素数是奇数；

2(2)∀x∈R，(x－1)＋1≥1；

(3)有的无理数的平方是无理数；

2(4)∃x0∈R，使2x0＋x0＋1＝0；

(5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；

2(6)∃x0∈R，x0≤0.

1

其中是真命题的为________________(填序号)．

答案：(2)(3)(6) 3．给下列四个结论：

xx①“∀x∈R，2＞0”的否定是“∃x∈R，2＞0”；

22②“∀x∈N，(x－1)＞0”的否定是“∃x∈N，(x－1)≠0”；

③“∃x∈R，lg x＜1”的否定是“∀x∈R，lg x≥1”；

④“∃x∈R，tan x＝2”的否定是“∀x∈R，tan x＞2或tan x＜2”．

其中正确结论的序号是______．

答案：③④

4．判断下列命题的真假．

(1)有的正方形不是矩形；

(2)有理数是实数；

(3)存在一个数，它的相反数是它本身；

2(4)∀x∈N，x＞0；

2（a＋b）22(5)∀a，b∈R，a＋b≥；

22(6)∃x∈R，x＋1＜0. 解析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；

(2)是真命题，所有的有理数都是实数；

(3)是真命题，0的相反数就是它本身；

(4)是假命题，自然数0的平方不大于0；

（a＋b）(5)是真命题，因为对于任意实数a，b，都有a＋b≥2ab，从而有a＋b≥恒2成立；

2(6)是假命题，任何一个实数x都不满足x＋1＜0. xx＋15．命题p：∀x∈[－1，2]，4－2＋2－a＜0，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．

xx＋1解析：依题意，∀x∈[－1，2]，4－2＋2－a＜0恒成立．

1x令t＝2，由x∈[－1，2]，得t∈，4，

2xx＋1则4－2＋2－a＜0，

22可化为a＞t－2t＋2，即a＞(t－1)＋1，

1∴命题p等价于∀t∈，4. 2a＞(t－1)2＋1恒成立，令y＝(t－1)2＋1. 12当t∈，4时，ymax＝(4－1)＋1＝10，

2所以只须a＞10，即可得p为真命题，

故所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．

22222

1．下列是全称命题且是真命题的是(B) 2A．∀x∈R，x＞0 2B．∀x∈Q，x∈Q

2C．∃x∈Z，x0＞1 22D．∀x，y∈R，x＋y＞0 2．下列命题中，真命题是(A) 2A．∃m∈R，使函数f(x)＝x＋mx(x∈R)是偶函数

2B．∃m∈R，使函数f(x)＝x＋mx(x∈R)是奇函数

2C．∀m∈R，使函数f(x)＝x＋mx(x∈R)是偶函数

2

D．∀m∈R，使函数f(x)＝x＋mx(x∈R)是奇函数

2解析：∵当m＝0时，f(x)＝x(x∈R)，

∴f(x)是偶函数．

2又∵当m＝1时，f(x)＝x＋x(x∈R)，

∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

∴A对，B、C、D错．故选A. 23．(2013·广州二模)命题“∃x0∈R，x0＋4x0＋5≤0”的否定是(C) 2A．∃x0∈R，x0＋4x0＋5＞0 2B．∃x0∈R，x0＋4x0＋5≤0

2C．∀x∈R，x＋4x＋5＞0 2D．∀x∈R，x＋4x＋5≤0

4．命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是(C) A．原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称

B．原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称

C．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称

D．存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称

5．下列命题中的真命题是(D) A．∃x0∈R使得sin x0＋cos x0＝1.5 B．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x

2C．∃x0∈R使得x0＋x0＝－1 xD．∀x∈(0，＋∞)，e＞x＋1 26．已知a＞0，函数f(x)＝ax＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C) A．∃x0∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x0∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0) 127．命题∀x∈R，x－x＋≥0的否定是4________________________________________________________________________．

12答案：∃x0∈R，x0－x0＋＜0. 48．有以下三个命题：

①∀α∈R，在[α，α＋π]上函数y＝sin x都能取到最大值1；②若∃a∈R，且a≠0，37f(x＋a)＝－f(x)时∀x∈R成立，则f(x)为周期函数；③∃x∈－π，－π，使sin x44＜cos x. 其中正确命题为______(填序号)．

解析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y＝sin x最大值为0；

②为真，f(x＋2a)－f(x＋a)＝f(x)，x∈R恒成立，T＝2a；

③为假，sin x＞cos x. 答案：②

29．已知命题：“存在x∈[1，2]，使x＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围________．

答案：[－8，＋∞)

10．(2013·揭阳二模)已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“∃x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围为________．

1答案：，＋∞

211．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：

(1)直线与x轴都有交点；

2

3

(2)正方形都是菱形；

(3)梯形的对角线相等；

(4)存在一个三角形，它的内角和大于180°. 答案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x轴没有交点．真命题．

(2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．

(3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．

(4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．

2212．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，使x0＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

222解析：命题p：x－a≥0，即a≤x，∵x∈[1，2]时，上式恒成立，而x∈[1，4]，∴a≤1. 2命题q：Δ＝(2a)－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2. ∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题，∴a＝1或a≤－2. 即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}．

►体验高考

21．(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x≠x”的否定是(D) 2A．∀x0∉R，x0≠x0

2B．∀x0∈R，x0＝x0

2C．∃x∉R，x0≠x0

2D．∃x0∈R，x0＝x0

x2．(2014·天津卷)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e＞1，则綈p为(B) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1 C．∀x＞0，总有(x＋1)ex0≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)ex0≤1 解析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可x知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x＋1)e＞1”改为“(x0x＋1)e≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”，故选B. 23．(2013·重庆卷)命题“对任意x∈R，都有x≥0”的否定为(A) 2A．存在x0∈R，使得x0＜0 2B．对任意x∈R，都有x＜0 2C．存在x0∈R，使得x0≥0 2D．不存在x∈R，使得x0＜0 4．(2013·四川卷)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(C) A．綈p：∃x∈A，2x∈B

B．綈p：∃x∉A，2x∈B

C．綈p：∃x∈A，2x∉B

D．綈p：∀x∉A，2x∉B

xx35．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p：∀x∈R，2＜3；命题q：∃x∈R，x＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(B) A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q

11－1－1解析：对于命题p，由于x＝－1时，2＝＞＝3，所以是假命题，故綈p是真命题；2332对于命题q，设f(x)＝x＋x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)＝0在区间32(0，1)上有解，即存在x∈R，x＝1－x，故命题q是真命题．

综上，綈p∧q是真命题，故选B.

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