1.1.3 四种命题间的相互关系优质课教案内容

1.1.3 四种命题间的相互关系

一、学习目标：

1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念. 2.能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题.(重点、难点) 3.掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系.(易混点)

[基础·初探] 教材整理1 四种命题的概念及结构

阅读教材P4～P5，完成下列问题. 1.四种命题的概念

一般地，对于两个命题，

(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做__________.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的________. (2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的________，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的________. (3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________的否定和________的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的________. 【答案】

(1)互逆命题

逆命题

(2)否定

否命题

(3)结论

条件

逆否命题

2.四种命题的结构形式

逆命题：

否命题：

原命题：若p，则q逆否命题：

【答案】

若q，则p

若﹁p，则﹁q

若﹁q，则﹁p

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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题“若﹁p，则q”的否命题为“若﹁p，则﹁q”.(

) (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题.(

) (3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”.(

) 【答案】

(1)×

(2)√

(3)√

教材整理2 四种命题之间的关系

阅读教材P7，完成下列问题. 1.四种命题之间的关系

2.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________. 【答案】

(1)相同

(2)没有关系

下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0. 其中真命题的个数为(

) A.0 B.1

C.2

D.3 【解析】

命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；

命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；

命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；

命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0. 【答案】

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[小组合作型]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题. (1)相似三角形对应的角相等；

(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；

(3)正方形的对角线互相平分. 【精彩点拨】

根据四种命题的定义解答. 【自主解答】

(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；

逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；

否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；

逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似. (2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；

逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；

否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；

逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.

(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；

逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；

逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形.

四种命题的写法

由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题. 如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变.

[再练一题] 1.命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是(

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A.若y≠kx，则x与y成正比例关系

B.若y≠kx，则x与y成反比例关系

C.若x与y不成正比例关系，则y≠kx

D.若y≠kx，则x与y不成正比例关系

【答案】

D

判断下列四个命题的真假，并说明理由. (1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；

(3)“若x≤3，则x－x－6>0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题. 【精彩点拨】

依题意写出命题进行判定，正确的命题进行证明，错误的命题只需举出反例，或应用互为逆否命题的命题具有相同的真假性判定. 【自主解答】

(1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若2x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题. (2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题. (3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题. (4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角.

判断命题真假的方法

解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证. 原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.

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[再练一题] 2.对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为(

) A.0个 B.1个

C.2个

D.4个

【解析】

当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C. 【答案】

C [探究共研型] 探究1

已知命题“若m－1

因为命题“若m－1

证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2为真命题. 【提示】

将命题“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”，下面证明逆否命题的正确性. 因为m2＋n2≥2mn，

所以2(m2＋n2)≥m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2，即

解得0≤m≤1，则实数m的取值范m2＋n2≥(m＋n)2，

又因为m＋n>2，

1212所以m＋n≥(m＋n)>×2＝2，

222212即m2＋n2>2，所以m2＋n2≠2.

故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.

命题：对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立是真命题，求实数a的取值范围. 【精彩点拨】

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命第

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题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题. 【自主解答】

因为命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”

等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，

若a＝0，则－3≤0恒成立，所以a＝0符合题意. 设f(x)＝ax2－2ax－3，当a＞0时，二次函数的图象开口向上又因为Δ＝4a2＋12a＞0，所以图象不会全部落在x轴下方，显然不符合题意. 当a＜0时，二次函数f(x)＝ax2－2ax－3开口向下，只需满足Δ≤0即可，a＜0，即Δ≤0，

a＜0，所以24a＋12a≤0，

a＜0，所以－3≤a≤0，

所以－3≤a＜0. 综上所述，a的取值范围是－3≤a≤0.

1.解答本题时首先利用了等价转化思想，把不成立的问题转化为恒成立的问题解决，即求对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立时的a的范围.在解题过程中还利用了分类讨论的思想. 2.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题.

[再练一题] 3.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假. 【解】

法一：原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.真假判断如下：

因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

若a＜1，则4a－7＜0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点. 第

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所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真命题. 法二：先判断原命题的真假. 因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

7即4a－7≥0，解得a≥，所以a≥1，

4所以原命题为真命题. 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题. 练习：

1.命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是(

) A.若a∉A，则b∉B

C.若b∈B，则a∉A

B.若a∈A，则b∉B

D.若b∉B，则a∉A

【解析】

“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”.

【答案】

C 2.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(

) A.1 B.2 C.3

D.4 【解析】

由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2. 【答案】

B 3.命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________. 【解析】

原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”.

【答案】

若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1

4.已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).”

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(1)写出它的逆命题，并判断其真假；

(2)写出它的逆否命题，并判断其真假.

【解】

(1)逆命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，

若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b). 则a＋b≥0，真命题. (2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.a，b∈R，

若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，

则a＋b＜0，真命题. 第

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