3.1直线的倾斜角与斜率（通用）板书设计及意图

第三章

直线与方程

3.1.1 倾斜角与斜率

一、内容及其解析

“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析

目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率

3、掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析：

1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X轴为基准，直线与X轴相交时，X轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。

3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式k=

（x1≠x2）

三、问题诊断与分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清

和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式。tan(180)tan的运用还不灵活。要解决这一困难，就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180。)tan。其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线不与X轴相交时又是怎么定义的。理解公式的tan(180。)tan的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。

四、教学支持条件分析

1

本节课打算用多媒体进行教学，因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐标系中的位置，直观明了。是学生更容易理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率

五、教学设计

情景引入：初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课研究的主要内容

问题一：在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率？

(设计意图：以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。) 问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？

师生活动1：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考

结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是都过点P，

不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同

由此可以定义直线的倾斜角

直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

如图为直线l的倾斜角

直线l的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、0角。

由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范围是0≤＜180

故

2

理解倾斜角的概念需要注意两点：

1.

直线倾斜角的定义包括两部分

（1）

当直线l与x轴相交时，定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角，包括锐角、直角、钝角。

（2）

当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为0

2.

在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度相同的直线，倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线的倾斜程度。

问题2：探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置？

师生活动：

1.

已知直线过点P能确定直线的位置吗？

结论：不能，如图点P的直线可以是无数条因为直线可以任意饶点P转动

2.

已知直线的倾斜角是45时，能确定直线的位置吗？

结论：不能，如图因为直线可以平行移动

3.

当直线过定点p并已知它倾斜角是45，能确定直线的位置吗？

能确定，直线过定点p，并且倾斜角是45，因此这条直线不能转动和平移了。

如图：

3

由此可知：确定直线的方法除了两点可以确定一条直线外

还有已知一点和一个倾斜角

例1：如图所示，直线l的倾斜角是多少度（

）

A．45

B

135

C

0

D. 不存在

变式训练：已知一条直线在第一象限过一点M，其倾斜角是30，作出这条直线

问题二：什么是斜率？

（设计意图：提出问题，以大问题的形式引出要学的内容）

问题1：日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢？

学生思考并进行讨论学习

结论：如图一个山坡的坡度可近似看做一个直角三角形

如果我们以前进量所在的直线为x轴，点o为原点建平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，也就是说我们可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度.

4

坡度（比）=升高量/前进量

即坡度就是倾斜角的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率，

因此

直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率

斜率通常用小写的字母k表示，所以k=tan（≠90，=90正切值不存在）

当直线的倾斜角=45时，斜率k=tan45=1，当=tan135时，k=tan135

因初中学习锐角正切值的计算，因此可以直接给出公式当为锐角时。tan(180)ta，对于这个公式要求会用就行，后面的学习将会进一步推n导，因此tan135=tan(18045)tan45=—1 问题2：探究当在0度到90度变化时，斜率是如何变化的？当在90度到180度范围变化时，倾斜角的变化又如何？

下面请同学们计算：当直线斜率是以下角时，直线斜率是多少？

30、45、60，=120、135、150

=0、由公式可计算得

k=tan0=0、k=tan30=3k=3、k=tan45=1、k=tan60=3

tan120=tan(180-60)=-tan60=-3

k=tan135tan(18045)tan451

k=tan150tan(18030)tan303可以利用计算器计算当由锐角无限接近90度时k值是向正无穷靠近的并且正值，即当在0度到90度变化时随着倾斜角的增大斜率增大，而当由钝角无效接近90度时，k值是无限向负无穷靠近的并且为负值。即当在90度到180度范围变化时，随着倾斜角的增大斜率增大。

由此可知：

当为锐角时，斜率k=tan>0 当为钝角时，斜率k=tan<0 当为直角时，tan不存在，所以斜率k也就不存在

当=0时，斜率k=tan0=0

反过来

当直线的斜率k>0时，直线的倾斜角为锐角

当直线的斜率k<0时，直线的倾斜角为钝角

当直线的斜率k=0时，直线的倾斜角为0度角

当直线的斜率k不存在时，直线的倾斜角为直角

3

例2：已知一条直线与X轴平行，则这条直线的斜率k的值是（）

A.0

B -3

C

1

D 不存在

5

变式训练：正三角形ABC在直角坐标系中的位置如图所示，求出三条边所在直线的倾斜角和斜率

解：因为BC与x轴重合

所以

BC边所在直线的倾斜角为0

故kBCtan00

因为ABC=60

所以AB边所在的直线的倾斜角为60

故

kABtan60

3因为ACB60

所以ACX120所以AC边所在的直线多的倾斜角为120

所以kACtan120tan(12060)tan603

问题三：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

【设计意图】：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

师生活动：下图中P1P2的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示的正切？

6

y y P2（x2，y2）

P2（x2，y2）

P1（x1，y1）

P1（x1，y1）



X o （1）

o （2）

X yy1小结：两点间斜率的计算公式k2（x1≠x2）。

x2x1例3、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°. 略解: 直线AB的斜率kAB=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率kBC=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率kCA=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 变式练习：求经过下列两点直线的倾斜角。

（1）、

A（2，1），B（3，1）；

（2）、

C（2，1），D（2，6）

六、课堂小结

1、倾斜角的定义及范围

定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

范围是0≤＜180

2、斜率的定义和求法

定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率

求法：90时，k= tan

90时斜率不存在

3、两点间斜率的计算公式ky2y1（x1≠x2）

x2x1

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