3.3.1 两条直线的交点坐标课堂实录【3】

3.3.1

两直线的交点坐标（一）教学目标1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.（二）教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标.难点：两直线相交与二元一次方程的关系.（三）教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.教具：用POWERPOINT课件的辅助式数学.教学环节

教学内容

用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观提出问题

察这两直线的位置关系. 师生互动

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关设计意图

设置情境系，那如果两直线相交于一点，导入新课

这一点与这两条直线的方程有何关系？

1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系通过学生分组概念形成与深化

已知两直线L1：A1x + B1y + C1 = 0，L2：A2x + B2y + C2 = 0讨论，使学师：提出问题生理解掌握判断两直线位置的方法. 如何判断这两条直线的关系？生：思考讨论并形成结论

教师引导学生先从点与直

线的位置关系入手，看表一，并填空.几何元素及关系

点A

直线L

点A在直线上

直线L1与L2的交点A

代数表示

A (a，b) L：Ax + By + C = 0

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？

（1）若二元一次方程组有唯一解，L1与L2相交.学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？

（2）若二元一次方程组无解，则L1与L2平行.（3）若二元一次方程组有无数解，则L1与L2重合. 教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解.同类练习：书本110页第1，2题.例1

求下列两直线交点坐例1 解：解方程组3x4y202x2y20标

训练学生解题格L1：3x + 4y

–2 =0应用举例

L2：2x + y +2 =0得x = –2，y =2.式规范条理清楚，表达简洁. 所以L1与L2的交点坐标为M(–2，2)，如图：

8 y 4 2 –5 –

2 –

4 5 x

例2

判断下列各对直线的例2解：（1）解方程组

xy0，

3x3y100位置关系。如果相交，求出交点

坐标。（1）L1：x–y=0，L2：3x+3y–10=05x3得

5y3（2）L1：3x–y=0，L2：6x–2y=0（3）L1：3x+4y–5=0，L2：6x+8y–10=0.所以，l1与l2相交，交点是55M (,). 33这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系. （2）解方程组

3xy40①

6x2y10②

①×②

–

②得9 = 0，矛盾，

方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2. （3）解方程组

3x4y50①

②

6x8y100①×2得6x + 8y

–10 = 0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合. 课堂设问一. 当λ变化时，方程3x + 4y–2+λ(2x + y +2) =0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点的坐标，

（1）可以用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经方法探究

培养学过观察，让学生从直观上得出结生由特殊到论，同时发现这些直线的共同特一般的思维点是经过同一点。

（2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。

（3）结论，方程表示经过这两直线L1与L2的交点的直线的集合。

方法. 应用举例

例3

已知a为实数，两直线l1：ax + y + 1= 0，l2：x + y

–

a

例3 解：解方程组若引导学生将方法拓

= 0相交于一点. 展与廷伸

a210，则a＞1. 当a＞1时，求证交点不可能在第一象限a1a21–0，此时交点在第二象a1分析：先通过联立方程组将及x轴上. 交点坐标解出，再判断交点横纵限内. 坐标的范围. 又因为a为任意实数时，都a21有a +1≥1＞0，故0. a12因为a≠1 (否则两直线平行，无交点)，所以，交点不可能在x轴上，得交点a1a21（）. ,a1a1小结：直线与直线的位置关归纳总结

系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用. 布置作业

课后作业

见习案3.3第一课时

由学生独立完成

巩固深化新学知识

师生共同总结

形成知识体系

备选例题

例1

求经过点(2，3)且经过l1：x + 3y– 4 = 0与l2：5x + 2y + 6 = 0的交点的直线方程. 解法1：联立x3y40x2,得，

5x2y60y2所以l1，l2的交点为(–2,2). 由两点式可得：所求直线方程为y3x2即x

– 4y + 10 = 0. 2322解法2：设所求直线方程为：x + 3y

– 4 +(5x + 2y + 6) = 0. 因为点(2，3)在直线上，所以2+3×3–4+(5×2+2×3+6) = 0，

所以77，即所求方程为x + 3y

– 4 + ()(5x + 2y + 6) = 0，

2222即为x

– 4y + 10 = 0. 例2

已知直线l1：x + my + 6 = 0，l2：(m

– 2)x + 3y + 2m = 0，试求m为何值时，l1与l2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交. 【解析】当l1∥l2(或重合) 时：

A1B2

–

A2B1 = 1×3 – (m

– 2)·m = 0，解得：m = 3，m = –1.

（1）当m = 3时，l1：x + 3y + 6 = 0，l2：x + 3y + 6 = 0，所以l1与l2重合；

（2）当m = –1时，l1：x

–

y + 6 = 0，l2：–3x + 3y

– 2 = 0，所以l1∥l2；

（3）当l1⊥l2时，A1A2 + B1B2 = 0，m

– 2 + 3m = 0，即m（4）当m≠3且m≠–1时，l1与l2相交. 例3

若直线l：y = kx

–

3与直线2x + 3y

– 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l的倾1；

2斜角的取值范围是：

A．[30,60)

B．(30,90)

C．(60,90)

D．[30,90]

【解析】直线l1：2x + 3y

– 6 = 0过A(3，0)，B (0，2)而l过定点C(0,3)

由图象可知kkACk0即可.

所以l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B.