复习参考题第一课时教学设计

椭

圆

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[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．

1．椭圆的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；

③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2y2＋＝1(a>b>0)

a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形

范围

对称性

顶点

－a≤x≤a －b≤y≤b

－b≤x≤b －a≤y≤a

性

质

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率

ce＝，且e∈(0,1) ac2＝a2－b2

a，b，c 的关系

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

1

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(

) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(

) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(

) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(

) [答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

12．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方2程是(

) A.＋＝1

34C.＋＝1 42D

[椭圆的焦点在x轴上，c＝1. x2y2x2y2B.＋＝1 43D.＋＝1 43x2y2x2y2c1222又离心率为＝，故a＝2，b＝a－c＝4－1＝3，

a2故椭圆的方程为＋＝1.] 43x2y2y23．(2015·广东高考)已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝

25m(

) A．2 C．4 B．3 D．9 2x2B

[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.] 4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离1为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(

) 41A.

32C.

31B.

23D.

4B

[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，2bc1所以e＝＝.] a2

2

5．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大43时，△FAB的面积是__________．

3 [直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，即a＝2，

x2y2b22×3此时，|AB|＝2×＝＝3，

a21∴S△FAB＝×2×3＝3.] 2

椭圆的定义与标准方程

(1)如图8­5­1所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(

)

【导学号：31222310】

A．椭圆

C．抛物线

2B．双曲线

D．圆

y2(2)设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0

图8­5­1

322(1)A

(2)x＋y＝1 [(1)由条件知|PM|＝|PF|. 2∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．

(2)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，

则F1(－c,0)，F2(c,0)．

3

∵AF2⊥x轴，则A(c，b)(其中c＝1－b0

→→又|AF1|＝3|F1B|，得AF1＝3F1B，

设B(x0，y0)，则(－2c，－b)＝3(x0＋c，y0)，

5cb∴x0＝－且y0＝－，

3322222,y222代入椭圆x＋2＝1，得25c＋b＝9，①

b2又c＝1－b，②

22联立①②，得b＝. 3322故椭圆E的方程为x＋y＝1.] 2[规律方法]

1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．

(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|的整体代换．

2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax＋By＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．

2222x2y2[变式训练1] (1)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上ab→→的一点，且PF1⊥PF2. 若△PF1F2的面积为9，则b＝__________. (2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________．

→→(1)3 (2)＋＝1 [(1)由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且PF1⊥PF2，

43∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4c，

∴(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1||PF2|＝4c，

∴2|PF1||PF2|＝4a－4c＝4b，∴|PF1||PF2|＝2b. 112∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b＝9，因此b＝3. 22

4 2222222222x2y2

x2y2(2)依题意，设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)．

ab过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，

3∴点A1，必在椭圆上，

219∴2＋2＝1.①

a4b又由c＝1，得1＋b＝a.②

由①②联立，得b＝3，a＝4. 故所求椭圆C的方程为＋＝1.] 432222x2y2

椭圆的几何性质

x2y2

(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦ab点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(

) 1A.

32C.

31B.

23D.

4A

[法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝的方程为y＝y0a－c，从而直线AMy0a－c(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝ay0. a－c同理，OE的中点N的纵坐标yN＝∵2yN＝yE，∴ay0. a＋c21＝，即2a－2c＝a＋c，

a＋ca－cc1∴e＝＝. a3法二：如图，设OE的中点为N，由题意知

|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a. ∵PF∥y轴，

∴又|MF||AF|a－c|MF||BF|a＋c＝＝，＝＝. |OE||AO|a|ON||OB|a|MF||MF|a－ca＋c＝，即＝，

|OE|2|ON|a2a

5

c1∴a＝3c，故e＝＝.] a3

[规律方法]

1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．

2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b＝a－c消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．

222x2y2[变式训练2] (2015·福建高考)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的ab一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l4的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(

) 5A.0，C.3

23B.0，

43D.，1

43，1

2A

[根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝4c2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝2≥，所以1≤b<2，所以e＝＝25a3＋－4＝31－.因为1≤b<2，所以0

直线与椭圆的位置关系

☞角度1 由位置关系研究椭圆的方程与性质

x2y2

已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，abcb)的直线的距离为. 【导学号：31222311】

2(1)求椭圆E的离心率；

522(2)如图8­5­2，AB是圆M：(x＋2)＋(y－1)＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，2求椭圆E的方程．

6

图8­5­2

[解]

(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝bcbc＝，3分

b2＋c2a1c322由d＝c，得a＝2b＝2 a－c，解得离心率＝.5分

2a2(2)由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b.①

依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝10. 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，

代入①得(1＋4k)x＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)－4b＝0.8分

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

8k则x1＋x2＝－2222222k＋21＋4k，x1x2＝k＋1＋4k22－4b2. 8k由x1＋x2＝－4，得－2k＋21＋4k1＝－4，解得k＝. 2从而x1x2＝8－2b.10分

于是|AB|＝＝52121＋|x1－x2| 22x1＋x2－4x1x2＝b2－. 2由|AB|＝10，得b2－x2y2＝10，解得b＝3. 故椭圆E的方程为＋＝1.12分

123☞角度2 由位置关系研究直线的性质

x2y22

(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，2)ab2在C上．

(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

a2－b2242[解]

(1)由题意有＝，2＋2＝1，

a2ab

7

解得a＝8，b＝4.3分

所以C的方程为＋＝1.5分

84(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).7分

将y＝kx＋b代入＋＝1，得

84(2k＋1)x＋4kbx＋2b－8＝0.9分

故xM＝22222x2y2x2y2x1＋x2－2kbb＝2，yM＝k·xM＋b＝2. 22k＋12k＋1yM1于是直线OM的斜率kOM＝＝－，

xM2k1即kOM·k＝－. 2所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分

[规律方法]

1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＋k＝2x1＋x22－4x1x2] 21＋12ky1＋y2－4y1y2](k为直线斜率)．

8

[思想与方法] 1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．

2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不x2y2明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦mn琐的计算，也可以设为Ax＋By＝1(A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便．

3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：

(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；

(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b＝a－c，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．

[易错与防范] 1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x与y的分母大小．

2222222ca

9

x2y22．注意椭圆的范围，在设椭圆2＋2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，ab这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．

3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c. 课时分层训练(四十九) 椭

圆

A组

基础达标

(建议用时：30分钟) 一、选择题

1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，2516|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(

) 【导学号：31222312】

A．4

C．2 B．3 D．5 x2y21A

[由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝102－6＝4.] 2．已知椭圆的方程为2x＋3y＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(

) 【导学号：31222313】

1A.

3C.2

2B.3

3221D.

2x2y2B

[原方程化为＋＝1(m>0)，

mm223222∴a＝，b＝，则c＝a－b＝，

236132则e＝，∴e＝.] 333．(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)＋y＝169，C2：(x＋4)＋y＝9，动圆在圆2222m2mmC1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为

(

)

【导学号：31222314】

A.C.－＝1 6448－＝1 4864x2x2y2y2B.D.＋＝1 4864＋＝1 644810 x2x2y2y2

D

[设圆M的半径为r，

则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，

∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，

且2a＝16,2c＝8，

故所求的轨迹方程为＋＝1，故选D.] 64484．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则43→→OP·FP的最大值为(

) A．2 C．6 B．3 D．8 x2y2x2y2→→→→C

[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP322＝x(x＋1)＋y＝x＋y＋x.又∵＋＝1，∴y＝3－x，

434222x2y2→→1212∴OP·FP＝x＋x＋3＝(x＋2)＋2. 44→→∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，OP·FP有最大值6.] x2y235．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线lab3交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为(

) A.＋＝1 32B.＋y＝1 3C.D.＋＝1 128＋＝1 124x2y2x22x2x2y2y2x2y23c3A

[∵2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝. ab3a3又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为43，

∴4a＝43，∴a＝3，∴b＝2，

∴椭圆方程为＋＝1.] 32二、填空题

x2y2

11

x2y26．已知椭圆的方程是2＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦a25AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为__________．

441 [∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．

∵|F1F2|＝8，∴c＝4，

∴a＝25＋c＝41，则a＝41. 由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，

∴△ABF2的周长为4a＝441.] π7．(2017·湖南长沙一中月考)如图8­5­3，∠OFB＝，△ABF的面积为2－3，则以622OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．

图8­5­3

x2y2x2y2＋＝1 [设所求椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，

82abπb3∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b. 6c3111∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－3b)b＝2－3，

222解得b＝2，则a＝2b＝22. ∴所求椭圆的方程为＋＝1.] 822x2y2x2y28．(2016·江苏高考)如图8­5­4，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a>b>0)ab的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________. 2b

图8­5­4 b26bx24

[将y＝代入椭圆的标准方程，得2＋2＝1，

32ab

12

所以x＝±33b3ba，故B－a，，Ca，. 22222→3b→3b又因为F(c,0)，所以BF＝c＋a，－，CF＝c－a，－. 2222→→因为∠BFC＝90°，所以BF·CF＝0，

所以c＋2321233b22222ac－a＋－2＝0，即c－a＋b＝0，将b＝a－c代入并化简，4422232c262得a＝c，所以e＝2＝，所以e＝(负值舍去)．] 2a33三、解答题

x2y229．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．

ab2

【导学号：31222315】

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x＋y＝1上，求m的值．

22c2＝，a2[解]

(1)由题意，得c＝2，a＝b＋c，222

a＝22，解得b＝2.

3分

∴椭圆C的方程为＋＝1.5分

84(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，

x2y2xy＋＝1，由84y＝x＋m，222

消去y得，3x＋4mx＋2m－8＝0，

22Δ＝96－8m>0，∴－23

∵x0＝x1＋x222mm＝－，∴y0＝x0＋m＝.10分

3322∵点M(x0，y0)在圆x＋y＝1上，

352m2m2∴－＋＝1，∴m＝±.12分

533x2y210．设椭圆E的方程为2＋2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点Bab的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为

5. 1013

(1)求E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB. 21[解]

(1)由题设条件知，点M的坐标为a，b，2分

33又kOM＝5b5，从而＝. 102a10c2522进而a＝5b，c＝a－b＝2b，故e＝＝.5分

a5b→a5ba(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，－，可得NM＝，.8分

2266→又AB＝(－a，b)，

→→1252122从而有AB·NM＝－a＋b＝(5b－a).10分

666由(1)的计算结果可知a＝5b，

→→所以AB·NM＝0，故MN⊥AB.12分

B组

能力提升

(建议用时：15分钟) 22x2y21．已知圆M：x＋y＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：2＋＝1的左焦点为F(－a322c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为

(

) 3A.

4C．2 22B．1 D．4 2C

[圆M的方程可化为(x＋m)＋y＝3＋m，

则由题意得m＋3＝4，即m＝1(m<0)，

∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．

又直线l过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴，

∴直线l的方程为x＝－c. 又∵直线l与圆M相切，

∴c＝1，∴a－3＝1，∴a＝2.] 222

14

x2y22．过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，ab11且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若

1，2

[如图所示，|AF|＝a＋c，

232a2－c2|BF2|＝，

aa2－c2a|BF2|∴k＝tan∠BAF2＝＝

|AF2|a＋c＝a－c＝1－e. a11又∵

321112∴<1－e<，解得b>0)经过点A(0，－1)，且离ab心率为2. 2

图8­5­5

(1)求椭圆E的方程；

(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2. [解]

(1)由题设知＝222ca2，b＝1，

2结合a＝b＋c，解得a＝2.3分

所以椭圆的方程为＋y＝1.5分

2(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y＝1，得(1＋2x22x22

15

2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.7分

由已知Δ>0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，

则xx4kk－1＋2＝1＋2k2，x＝2kk－1x21＋2k2.9分

从而直线AP，AQ的斜率之和

ky1＋1y2＋1kx1＋2－kkx2＋2－kAP＋kAQ＝x＋＝x＋

1x21x2＝2k＋(2－k)1x＋1＝2k＋(2－k)x1＋x21xx

21x2＝2k＋(2－k)4kk－2kk－＝2k－2(k－1)＝2. 所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.12分

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