3.1.3 空间向量的数量积运算说课稿【一等奖】

3.1.3．空间向量的数量积

教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程

一．复习引入：

问题1：平面向量的夹角；

问题2：平面向量数量积的定义

二．新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

2．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cos记作ab，即ab|a||b,ab叫做a,b的数量积，|cos

,ab．问题3：你能说出ab的几何意义吗？

已知向量ABa和直线l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；

可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．

3．空间向量数量积的性质：

e

B

A

B

C

A

2（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|aa．

4．空间向量数量积运算律：

1 (a)b(ab)a(b)．2 abba（交换律）．3 a(bc)abac（分配律）．

问题4：（教材P90面的思考）

（三）例题分析：

例1．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)．

练习：

1、下列命题：①若ab0，则a，b中至少一个为0

②若a0且abac，则bc③(ab)ca(bc)

④(3a2b)(3a2b)9a4b

中正确有个数为（B ）A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2、已知ABC中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1, C=30°,则BCCA=

。

例2．已知空间四边形ABCD的每条边与对角线长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，O

求下列向量的数量积：

（1）ABAC

（2）ADBD（3）FGBA

（4）GEGF

解：（1）2212111a

（2）a2

（3）a2

（4）a2

4224A

C

45，例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5B，

OACO

OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB， ∴OABCOAACOAAB

A

C

B

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

∴cosOA,BCOABC24162322，所以，OA与BC的夹角的余弦值为855|OA||BC|322．

5练习：教材P92面练习题

四．课堂小结：

空间向量数量积的概念和性质及运用

五．课后作业：

《习案》作业二十九