2.3 抛物线（通用）教学设计(第一课时)

2.4.2直线与抛物线的位置关系

教学目标

1、知识与技能

掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；

2、过程与方法

联立方程组的解析法与坐标法

3、情感态度价值观

让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神

教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法

教学难点：

直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用

教学方法：多媒体教学、学案式教学

教学过程

一、课题引入

师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系. 提问的目的：

1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系；

2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）

师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力）

在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法）

二、新课讲授

2例1：求过定点P(0,1)且与抛物线

y2x



只有一个公共点的直线方程

例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想. 那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程 k2x22(k1)x10①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想. 根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，同时让学生总结出“直线与抛物线的位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式0）,所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤. 1

例2：

在抛物线 上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小. yx2

课堂练习

练习： 当k为何值时,直线y= k x+1与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫一名同学到板前解题，解题结束后做相应的点评. 要点一：求直线的方程

要点二：消元的基本方法（简单）

要点三：对系数进行分类讨论

要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”

1.（1）过点（3,1）与抛物线y4x

只有一个公共点的直线有 ____条

（2）过点（1,2）与抛物线y4x只有一个公共点的直线有 ____条 （3）过点（0,2）与抛物线y4x

只有一个公共点的直线

有____条 （4）已知直线ykxk及抛物线y2px(p0)，则（ ）

A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 2.在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。

23、斜率为1的直线L经过抛物线y = 4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.

4、已知抛物线y26x,求以点M4，1

为中点的弦所在直线的方程。

二、抛物线的焦点弦性质

例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和

抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则

(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ

(5)以AB为直径的圆与准线相切. (6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则

(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2p 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则

(5)以AB为直径的圆与准线相切. 练习（1）直线l过抛物线y2=2px (p>0)的焦点且与x轴垂直，

若l被抛物线截得的线段长为6，则p=__________ (2)已知抛物线方程 =8x,则它的焦点坐标为_______,准线方程为________，

2

2222

若该抛物线上一点到y轴距离等于5，则它到抛物线的

焦点的距离为___________，

若该抛物线上一点M到焦点距离等于4,则M的坐标为__________. （3）抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，焦点在x+2y-12=0上，

则它的方程为__________. 课堂总结

本节课我们学习了

1、直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性. 2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想. 作业：

3