习题3.1ppt配套教案板书设计

3.1.5

空间向量运算的坐标表示

学习目标

1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.

知识点一

空间向量的坐标运算

思考

设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？

答案

m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2. 梳理

空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算

加法

减法

数乘

数量积

知识点二

空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

名称

a∥b

a⊥b

模

夹角

满足条件

向量表示形式

a＝λb(λ∈R)

a·b＝0

|a|＝a·a

a·bcos〈a，b〉＝

|a||b|坐标表示形式

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22|a|＝a21＋a2＋a3

向量表示

a＋b

a－b

λa

a·b

坐标表示

(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3

cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3b1＋b2＋b3

类型一

空间向量的坐标运算

例1

已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于(

) A.(2，－4，2)

C.(－2，0，－2)

B.(－2，4，－2) D.(2，1，－3)

答案

A 解析

依题意，得b＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2). 反思与感悟

关于空间向量坐标运算的两类问题

(1)直接计算问题

首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标

首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标. 跟踪训练1

若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 答案

2 解析

据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，

故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 类型二

空间向量平行、垂直的坐标表示

→→例2

已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC. →(1)若|c|＝3，c∥BC.求c；

(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. →→解

(1)因为BC＝(－2，－1，2)，且c∥BC，

→所以设c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)，

得|c|＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3，

解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2). →→(2)因为a＝AB＝(1，1，0)，b＝AC＝(－1，0，2)，

所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 5解得k＝2或k＝－. 2引申探究

若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值. 解

由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k，4)，

∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，

∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，

5即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，

2

5故所求k的值为－2或. 2反思与感悟

(1)平行与垂直的判断

①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线. ②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0. (2)平行与垂直的应用

①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程. ②选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 跟踪训练2

在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点. 证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；

(2)A1G⊥平面EFD. 证明

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，由111111，1，，F1，，0，G，1，0，H，，1. 中点性质得E22222

11111→→→，0，

，

EH＝－，－，，

(1)AB1＝(1，0，1)，GE＝2222211→→→→－＋0＋1×＝0，

∵AB1＝2GE，AB1·EH＝1×22→→→→∴AB1∥GE，AB1⊥EH.即AB1∥GE，AB1⊥EH. 11→→，1，－1，DF＝1，－，0，

(2)∵A1G＝221→1，0，，

DE＝21→→11→→1∴A1G·DF＝－＋0＝0，A1G·DE＝＋0－＝0，

2222∴A1G⊥DF，A1G⊥DE. 又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD. 类型三

空间向量的夹角与长度的计算

例3

棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.

(1)求证：EF⊥CF；

→→(2)求EF与CG所成角的余弦值；

(3)求CE的长. 10，0，，C(0，1，0)，

(1)证明

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E2111，，0，G1，1，. F222

1111111→→→→，，－，CF＝，－，0，CG

＝1，0，，CE＝0，－1，. 所以EF＝2222222→→11111→→因为EF·CF＝×＋×－2＋－2×0＝0，所以EF⊥CF，即EF⊥CF. 2221111→→1(2)解

因为EF·CG＝×1＋×0＋(－)×＝，

22224→|EF|＝→|CG|＝12＋12＋－12＝3，

222212512＋02＋＝22，

1→→4EF·CG15→→所以cos〈EF，CG〉＝＝＝. 15→→35|EF||CG|×22→(3)解

|CE|＝|CE|＝12502＋－12＋＝22. 反思与感悟

通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 跟踪训练3

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值. 解

(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，

1∴OA＝OC＝3，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×23＝23. 2在Rt△POB中，∠PBO＝60°，

∴PO＝OB·tan 60°＝3. 11∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×23×3＝2. 33(2)如图，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则B(1，0，0)，C(0，3，0)，D(－1，0，0)，A(0，－3，0)，P(0，0，3). 13∴E，0，，

2233→→∴DE＝，0，，PA＝(0，－3，－3). 2233→→∴DE·PA＝0＋0＋×(－3)＝－，

22→→|DE|＝3，|PA|＝6. 3－→→2DE·PA2→→∴cos〈DE，PA〉＝＝＝－. 4→→3×6|DE||PA|∵异面直线所成的角为锐角或直角，

∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为2. 4

1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(

) A.(16，0，4)

C.(8，16，4)

答案

D 解析

4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0) ＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4). B.(8，－16，4)

D.(8，0，4)

2.若a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为(

) A.4

B.15

C.3

D.7 答案

C 解析

∵b＋c＝(2，2，5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3. 3.已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是(

) A.(1，1，1)

C.(2，－3，5)

答案

B 解析

若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b. 4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(

) 137A.1

B.

C.

D.

555答案

D 解析

依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，

所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，

而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，

7所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. 5→→5.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量AB与AC的夹角为_______. π答案

3→→解析

∵AB＝(0，3，3)，AC＝(－1，1，0)，

→→∴|AB|＝32，|AC|＝2，

→→AB·AC＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，

→→AB·AC1→→∴cos〈AB，AC〉＝＝，

→→2|AB||AC|→→又∵〈AB，AC〉∈[0，π]，

π→→∴〈AB，AC〉＝. 3

→1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. 2.两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，

B.(－4，6，－2)

D.(－2，－3，5)

→则|AB|＝|AB|＝→AB2＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12. 3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.

40分钟课时作业

一、选择题

1.已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量.若l1∥l2，则(

) A.x＝6，y＝15

C.x＝3，y＝15

答案

D 24515解析

由l1∥l2，得＝＝，解得x＝6，y＝. 3xy2→→2.已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量OA，OB，下列关系中能表示l∥α的是(

) →A.a＝OA

→→C.a＝pOA＋λOB

答案

D 3.已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(

) A.0

B.6

C.－6

D.±6 答案

B 解析

∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6. 4.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(

) A.310

B.210

C.10

D.5 答案

A 解析

a－b＋2c＝(9，3，0)，|a－b＋2c|＝310 . 5.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2，1)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(

) A.锐角三角形

C.钝角三角形

B.直角三角形

D.等边三角形

→B.a＝kOB

D.以上均不能

15B.x＝3，y＝

215D.x＝6，y＝

2

答案

A →→→解析

AB＝(3，4，2)，AC＝(5，1，3)，BC＝(2，－3，1). →→由AB·AC>0，得A为锐角；

→→由CA·CB>0，得C为锐角；

→→由BA·BC>0，得B为锐角. 所以△ABC为锐角三角形. 6.已知向量a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，若a与b为共线向量，则(

) A.x＝1，y＝1

13C.x＝，y＝－

62答案

C 解析

∵a＝(2x，1，3)与b＝(1，－2y，9)共线，

2x13∴＝＝(y≠0)，

1－2y913∴x＝，y＝－. 62二、填空题

7.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝_____. 答案

0 →→解析

因为AB＝(m－1，1，m－2n－3)，AC＝(2，－2，6)，

→→由题意得AB∥AC，

m－11m－2n－3所以＝＝，

26－2所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. →→8.已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________. 2答案

π

3→→→→→→解析

AB＝(－2，－1，3)，CA＝(－1，3，－2)，AB·CA＝－7，|AB|＝14，|CA|＝14，

∴cos θ＝－71＝－，

214×1411B.x＝，y＝－

2213D.x＝－，y＝

622又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.

39.已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________.

答案

(－1，1，2) 解析

设点D(x，y，z)，

→→则DB＝(－x，1－y，－z)，AC＝(－1，0，2)，

→→DC＝(－x，－y，2－z)，AB＝(－1，1，0)，

→→→→因为DB∥AC，DC∥AB，所以DB∥AC，DC∥AB，

1－y＝0，则－x－y＝，－112－z＝0，－x－z＝，－12

x＝－1，解得y＝1，z＝2，

所以D(－1，1，2). 210.已知向量a＝(5，3，1)，b＝(－2，t，－)，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范5围为________________. 6652－∞，－∪－，

答案

5515252－＝3t－，

解析

由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×55因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，

5252即3t－<0，所以t<. 515若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，

2－2，t，－，

即(5，3，1)＝λ55＝－2λ，3＝tλ，所以21＝－5λ，

6所以t＝－，

56652－∞，－∪－，. 故t的取值范围是5515三、解答题

→→11.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S. →→解

∵AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，

→→－2＋3＋6AB·AC1→→∴cos〈AB，AC〉＝＝＝，

→→4＋1＋9·1＋9＋42|AB|·|AC|3→→∴sin〈AB，AC〉＝，

2→→→→∴S＝|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝73，

→→∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为73. 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.

解

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，11，，0，设M(1，1，m). 1)，E2→连接AC，则AC＝(－1，1，0).

而E，F分别为AB，BC的中点，

111→1→→0，－，－1，

所以EF＝AC＝(－，，0).又因为B1E＝2222→D1M＝(1，1，m－1)，

而D1M⊥平面EFB1，

所以D1M⊥EF，

且D1M⊥B1E，

→→→→即D1M·EF＝0，且D1M·B1E＝0. －2＋2＋m－1×0＝0，所以

10－2＋1－m＝0，11

1解得m＝，即M为B1B的中点. 213.在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，以O为原点，建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题. (1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；

(2)过点O1作O1D⊥AC于点D，求点O1到点D的距离. →→→解

由题意，以O为原点，分别以OA，OC，OO1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

(1)由题意得A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0)，

→→∴AO1＝(－2，0，2)，B1E＝(－1，0，－2)，

－210→→∴cos〈AO1，B1E〉＝＝－，

10210∵异面直线所成的角为锐角或直角，

故异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为10. 10→→→→(2)由题意得O1D⊥AC，AD∥AC，C(0，3，0)，

设D(x，y，0)，

→→→则O1D＝(x，y，－2)，AD＝(x－2，y，0)，AC＝(－2，3，0)，

－2x＋3y＝0，x＝13，∴x－2y解得12＝，y＝－2313，→∴|O1D|＝|O1D|＝

18

1812∴D(，，0)，

131318122＋2＋4＝13131 1442286＝. 13213