习题1.2优质教案设计

充分条件与必要条件复习课

基础

联通

抓主干知识的“源”与“流”

1．充分条件与必要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q⇒

/p

p⇒

/q且q⇒p

p⇔q

p⇒

q且q⇒/

p

/p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

2.充分条件与必要条件和集合的关系

p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件

p是q的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

充分条件与必要条件的判断

A⊆B

B⊆A

AB

BA

A＝B

[例1]

(1)(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( ) A．充要条件

B．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件

C．必要而不充分条件

x＞1，[解析]

(1)∵y＞1，∴x＋y＞2，即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．

(2)当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．

[答案]

(1)A

(2)C

[方法技巧] 充分、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

充分条件与必要条件的应用

[例2]

(1)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A．a≥1

C．a≥4

B．a>1

D．a>4 (2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[解析]

(1)命题可化为∀x∈[1,2)，a≥x2恒成立．

∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)．

∴命题为真命题的充要条件为a≥4. ∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D. (2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 1－m≥－2，则1＋m≤10，

解得0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

[答案]

(1)D

(2)[0,3]

[方法技巧] 根据充分、必要条件求参数的思路方法

根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，

然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1．[考点一](2017·长沙四校联考)“x>1”是“log2(x－1)<0”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

由log2(x－1)<0得01”是“log2(x－1)<0”的必要不充分条件，选B. 32．[考点二]已知“x>k”是“x＋1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( ) A．[2，＋∞)

C．(2，＋∞)

B．[1，＋∞)

D．(－∞，－1] 33－x＋23解析：选A

由x＋1<1，得x＋1－1＝x＋1<0，解得x<－1或x>2.因为“x>k”是“x＋1<1”的充分不必要条件，所以k≥2. 1π3．[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p：cos α≠2，命题q：α≠3”，则命题p是命题q的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

1ππ解析：选A

若cos α≠2，则α≠2kπ±3(k∈Z)，则α也必然不等于3，故p⇒q；若αππ1≠3，但α＝－3时，依然有cos α＝2，故q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件．

4．[考点二]已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A．[1，＋∞)

B．(－∞，1] C．[－3，＋∞)

D．(－∞，－3) 解析：选A

设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.

15．[考点一]已知函数f(x)＝3x－1＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写) 1解析：若f(x)＝3x－1＋a是奇函数，

则f(－x)＝－f(x)，

即f(－x)＋f(x)＝0，

11∴3－x－1＋a＋3x－1＋a

3x1＝2a＋1－3x＋3x－1＝0，

3x－1即2a＋1－3x＝0，∴2a－1＝0，

111即a＝2，f(1)＝2＋2＝1. 1若f(1)＝1，即f(1)＝2＋a＝1，

1解得a＝2，

11所以f(x)＝3x－1＋2，f(－x) 1111＝3－x－1＋2＝－3x－1－2＝－f(x)，

故f(x)是奇函数．

∴“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．

答案：充要