1.1.2 充分条件和必要条件教学设计实例

充分条件和必要条件

一、教学目标

1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；会分析四种命题之间的相互关系；会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．

2．理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；学会判断必要条件、充分条件、充要条件的方法．

二、基础知识回顾与梳理

1、设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，由此可得到什么结论？

试写出该命题的逆命题、否命题与逆否命题。

【教学建议】本题以高中数学主干知识数列为背景设计的一道开放题，给学生充分的自由度，帮助学生复习命题与其逆命题、否命题与逆否命题的关系并择其一二判断真假。

（1）结论多种多样，如①2bac；②2sinBsinAsinC；③1c3；④0B；⑤3a3tanAC1tan等等。

2232、设条件p：x13，试给出一个条件q，使得p分别是q的“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”“既不充分也不必要条件”。

【教学建议】可以提出以下问题引导学生：

（1）不等式x13的解集是 。{x|2x4}

（2）p是q充分不必要条件时，条件q与集合{x|2x4}的关系如何？（3）其他情况呢？

三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。

2、诊断练习点评

题1：用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知p:x2，q:x2，那么p是q的_____ ___条件．

22（2）已知p:ab，q:acbc，那么p是q的____ ___条件． （3）已知p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的______条件．

（4）已知p:ab，q:ab，那么p是q的____ __条件．

【分析与点评】判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法以及数轴来判断和理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

22p是命题q成立的××条件，则命题p是条件，命题q是结论。

ppqq又如：命题成立的××条件是命题，则命题是条件，命题是结论。

p,q对应的集合分别为A,B则AB,则p是q的充分不必要条件；AB,则p是q的又如：记条件如：命题答案：充分不必要；必要不充分；_充要_；既不充分也不必要。

必要不充分条件。

题2．已知a，b，cR，命题“若abc3，则abc3”的否命题是________________．

【分析与点评】（1）四种命题之间的关系是什么？

（2）命题的否定和否命题有什么区别？

22题3．原命题：“设a,b,cR若acbc则ab”的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中，真命题共有

个。

【分析与点评】（1）在不等式的性质中，abacbc成立的条件是什么？（c0）

1

222

（2）通常情况下c0，若acbc，则c的范围是什么？

（3）在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可能是哪些？因为原命题与其逆否命题等价，所以结果只可能是0、2、4 题4．设命题p:|4x3|1，命题q:x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的

必要不充分条件，则实数a的取值范围是

. 【分析与点评】（1）是否要求出p和q的取值范围？

（2）如何转化“p是q的必要不充分条件”这句话？转化为什么？

（3）如何确定两个集合的包含关系？

（4）边界，即端点的等号能否取到？

四、范例导析

例1、已知命题：“xx|1x1，使等式xxm0成立”是真命题．

22222（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式(xa)(xa2)0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围．

【教学处理】全部由学生分析，教师点评；

【引导分析与精讲建议】

第一问：求参数m的取值范围用什么方法？是二次函数的方法，还是分参的方法？哪个方法更加方便？

第二问：1）如何求出集合N？两个端点的大小关系确定吗？不确定怎么办？怎样进行分类讨论求出集合N的范围？

2）能否不求出集合N的范围，直接求出最终的参数a的范围？怎么处理不等式？如何列出条件？

例2：用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空。

（1）(x4)(x1)0是(x4)0的

条件。

(x1)（2）条件x13x1x26x13,x1x26,是条件的

条件；条件是的______条件；

x23x1x29x23.(x13)(x23)0.（3）是tantan的

条件。（教材第9爷习题1、1第4（2）题改编）

（4）设M、N是两个集合，则“M4（4）题改编）

（5）“xy5”是“x2或y3”

的

条件。

【教学处理】要求学生独立思考并解题，由学生阐述思考的过程和方法，教师视学生回答情况适时介入，评点纠错。

【引导分析与精讲建议】

题（1）与不等式N”是“MN的

条件。（教材第9页习题1、1第(x4)0等价的 。（化除为乘转化为一元二次不等式（组））；不等式解集(x1)之间的包含关系是

。（从集合的“大”“小”入手判断）；

题（2）举反例判断。可追问：一元二次方程的两个根都大于3的充要条件是什么？

题（3）正切函数ytanx的定义域是什么？推不出tantan的条件是

。

题（4）用韦恩图判断，直观易懂。

2

题（5）直接判断较困难，作如下处理：与““xy5”是“x2或y3”

的

条件”等价的是

。（“x2且y3”是“xy5的

条件”）

例3 已知实数a0，设p：实数x满足x4ax3a0，q：实数x满足xx60或x2x80，且p是q的必要不充分条件，求实数a取值范围。

【教学处理】学生板演，教师点评并规范解题过程。

【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：

问题1：解一元二次不等式的步骤是什么？在解不等式x4ax3a0时，条件a0怎样用？

其解集是什么？

问题2：命题q：转化为求xx60和x2x80的交集还是并集？它们进行运算时借助什么较直观？

问题3：p和q满足的集合分别是什么？如何从集合的角度理解“p是q的必要不充分条件”？

问题4：

可否换一个角度理解“p是q的必要不充分条件”？比如“p是q的必要不充分条件”等价于“p是q的充分不必要条件”。

建议：对于较好的学生还可以从二次函数f(x)x24ax3a2在区间[-4,-2)上与x轴至多有一个交点入手求解. 五、解题反思

1、对命题真假的判断，真命题要加以论证，假命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式．在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系，要注意命题四种形式之间的真假关系．如诊断练(3)和例1. 2、要判定一个命题是另外一个命题的什么条件，一是要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论；二是要使两个命题反映的知识点尽可能地接近，才易于找到两个命题的推出或包含关系．如例33、充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．

例如：求证：关于x的方程axbxc0有一个根为－1的充要条件是abc0．

222222222

1是方程ax2bxc0的根，求证：abc0．

x1是方程ax2bxc0的根，a(1)2b(1)c0，即abc0．

2充分性：关于x的方程axbxc0的系数满足abc0，求证：方程有一根为－1．

abc0，bac，代入方程得：ax2(ac)xc0，

2得(axc)(x1)0，x1是方程axbxc0的一个根．

证明：必要性：若x故原命题成立．

4、反证法是一种重要的间接证法，一般在命题结论涉及“无限”的形式、“否定”的形式或“至多”、“至少”的形式时，可考虑采用反证法．反证法在很大程度上就是证明原命题的逆否命题，反证法的基本步骤是：(1)否定命题的结论(即命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别)；(2)通过逻辑推理导出矛盾(可以与已知矛盾、可以与公理和定义矛盾等等)，从而说明原命题是正确的.

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