2.6.1 曲线与方程特级教师教学实录

《曲线与方程》教学设计

“曲线与方程”是解析几何的基本概念，是研究解析几何两个基本问题（求曲线方程和利用曲线方程研究曲线的几何性质）的基础，同时它也揭示了形与数的统一关系，故它对学生的后续学习至关重要。但由于“曲线与方程”概念的抽象性和学生对一般的曲线及其方程概念的内涵和外延较陌生，学生对其理解、掌握还是相当困难的。

一．

教学目标：

1、知识与技能目标: (1)理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念(这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点)；

(2)学会从已有的直线和圆的相关知识中找到共同点，进而分析、判断、归纳一般曲线与方程的关系。

2、过程与方法目标: (1)在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理地阐述自己的观点; (2) 强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法; (3)能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决新的问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质。

3、情感、态度与价值观目标: (1) 通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；

(2)通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

二．学情分析：

学生通过《直线与方程》、《圆与方程》这两章的学习，已初步掌握了在平面直角坐标系中确定直线和圆的方程，并用方程研究直线和圆的几何性质的方法。也就是说，学生对这种用代数的方法研究几何问题有了一定的认识，这为本节内容的学习做了铺垫。正是基于这样的学情，本节课我采用了“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式。

三．教学重点、难点：

教学重点:曲线的方程、方程的曲线的概念。

教学难点:曲线与方程的对应关系

四．教学过程：

1、创设情境，引入课题

首先利用天宫一号的目标飞行器成功发射的模拟动画，使学生初步体会曲线上的点与方程的解是一一对应的关系。

设计意图：从学生非常熟悉的例子入手，便于引起学生的注意，激发学习兴趣，同时体会数学的应用价值。

2、温故知新，提出问题

问题一：下列哪个方程表示如图所示的直线l（ ）

y1 A.xy

l(1 ,1)1B.xy

C.xy

D.

O(-1,-1)..(1,-1)xxy

设计意图：利用学生熟悉的曲线写出其方程，进一步理解曲线上的点的坐标与方程的解之间的对应关系，为曲线与方程概念的获得铺设第一步台阶。

问题二：如图方程

x

2



y

2





0

所表示的曲线是（

）

4

,x22-2-2222O-2-2x-2Ox-22Ox-2O-2x

A

B

C

D 设计意图：“从最简单的情形开始”（笛卡尔语）让学生快速进入学习状态。直接设问明晰思考方向，适当反问诱发深入思考。使每位学生亲生体验具体的曲线与方程的关系，为曲线与方程概念的获得铺设第二步台阶，曲线与方程的概念呼之欲出。

3、自主探究，形成概念

问题三：通过上面两个问题的研究，你认为当曲线与方程满足什么关系时，才可以用方程来研究曲线或用曲线来刻画方程? 小组讨论结果展示，教师补充完善，给出定义: 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y) =0的实数解建立如下关系: 1、曲线C上的所有点的坐标(x，y)都是方程f(x，

y) =0的解; 2、以方程f(x，

y) =0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上。

则称:方程是曲线C的方程;曲线C是方程的曲线。

从集合与对应的角度重新认识定义。

4、

数学运用，深化概念

1,练习1、点

A

(



2

)

,

B

(2

,



3

)

,C

(3

,

10

)

是否在方程

x

2



xy



2

y



1



0

表示的曲线上？为什么？

问题四：如何判断已知点是否在所给定的曲线上？

练习2、曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)0的解是方程

f(x,y)0是曲线的方程的（

）

A．充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C.

充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

问题5：如何解决有关充要条件的问题？

设计意图：通过问题的引领，让学生的思维由特殊到一般，再由一般到特殊，由抽象到具体，这样有利于学生的思维碰撞。引入充要条件的问题，有利于学生解决综合性问题。

例1、判断下列各命题是否正确：

(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3。

(

)

(2)到x轴距离等于1的点的轨迹方程为y=1。

(

)

设计意图：进一步加深学生对定义的理解，培养学生的严密推理能力，同时进一步理解曲线与方程的概念。

例2、证明与两坐标轴的距离的积是常数

k(k>0)的点的轨迹方程是xyk

设计意图：通过本例让学生学会用定义法证明问题的方法和步骤，培养学生书面表达的严谨和简洁。

B0

),练习3、已知等腰△ABC的三个顶点坐标分别为: A

(

0

,

3

),

(



2

,

C

(

2

,0

)

，则中线AO所在直线的方程为

x



0

么?

yA(0,3)oB(-2,0)C(2,0)x

x0么? 变式:中线AO的方程是 设计意图：在具体易错的情境中检验、提升对概念的理解和应用，同时让学生初步体会求曲线方程的步骤和注意事项，为下节课“求曲线的方程”的学习埋下伏笔。

5、课堂活动，挑战自我

1、写出表示曲线的方程： 2、作出方程所表示的曲线：

y1o-1 1x2

1y,0x4x3、作出方程所表示的曲线： 4、写出表示曲线的方程：

4yy

1x2

1-1o12x设计意图：让学生经历从形到数，再从数到形，从两个方向理解曲线上的点与方程的解是一一对应的。

6、课堂小结，梳理提升

问题6：同学们通过本节课学习，你有什么收获？

师生梳理，讨论后，总结如下：

（1）

曲线方程的概念。

（2）

判断曲线方程的方法，正确时要用定义证明，不正确只需举出反例。

教师用华罗庚的诗句来结束本节课：数缺形时少直观，形少数时难入微。

设计意图：课堂教学不仅让学生学习具体的知识，还要学习归纳解题的思想、方法；同时回顾与总结有利于知识、方法网络的形成，让学生站得更高，看得更远。用名人名言结尾印证数形结合思想方法的重要，同时激发学生的学习兴趣，增强人文气息的培养。