习题3.2特级教师教学实录

2017学年花都区中小学“科学课堂教学设计比赛”

姓名：梁伟文

单位：广州市花都区秀全中学

学科：数学

课题：《立体几何中的向量方法》

（《人教A版》选修2-1第三章3.2.1节）

课型：新授概念课

1

3．2．1立体几何中的向量方法（新授概念课）教学设计

【课题】《立体几何中的向量方法》（《人教A版》选修2-1第三章3.2.1节）

【考纲要求】

(1)理解直线的方向向量与平面的法向量. (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. (3)了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

【教学目标】（终点目标分析）

1.

回顾类比空间点线面的向量表示方法，理解空间向量的点线面的表示方法。（事实性知识）

2.

能用自己的话陈述平面的法向量，能够找出直线的方向向量与平面的法向量，并能从正例、反例理解方向向量与法向量的性质；（概念性知识的理解）

3.

分析法向量特征，归纳出待定系数法求解平面的法向量的方法与步骤。（程序性知识掌握）

4.能用方向向量与法向量描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直，并转化为向量运算。(程序性知识的应用) 5、在实际应用问题中，能够恰当地选择几何法或者向量法证明平行垂直关系。(策略性知识的分析) 【任务分析】

（一）

起点能力分析（可以包括对学生学习难点和易错点的分析）：

学生已经掌握平面内点的位置向量表示，能够用直线方向向量表示直线，会用基底描述平面，并且学习了空间向量的及其运算，能熟练地运用向量判定两向量的平行、垂直关系。

（二）、目标中的学习结果类型：

概念的学习、程序性知识的应用、策略性知识的分析。

（三）支持性条件：学生会运用类比思想和转化的思想解决问题。

（四）教学重点：（1）平面法向量的概念以及法向量的求解；（2）学生自己归纳用向量的方法描述线线、线面、面面的平行垂直关系。

（五）教学难点：（1）待定系数法求平面法向量；（2）解决实际问题中恰当选取几何法与向量法证明平行垂直。

（六）

使能目标分析（寻找“先行条件”，建立逻辑关系）

目标1.1：

理解方向向量与法向量概念

目标1.2：会用定义及待定系数法求平面法向量

目标1：会求直线方向向量与平面的法向量

目标2：能用方向向量与法向量描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直，并转化为向量运算。

目标2.2：

学生自己归纳用向量的方法2 描述线线、线面、面面的平行垂直关系。

总目标：解决实际问题中恰当选取几何法与向量法证明平行垂直。

目标2.1：

会用空间向量表示空间点线面

（七）目标、教学与测评的一致性分析

表：目标、教学活动和测评在分类表中的位置

认知过程维度

知识维度

记忆

事实性知识

概念性知识

程序性知识

元认知知识

理解

目标1活动1

运用

目标2活动2 目标3目标4活动3活动4

分析

目标5活动5

评价

创造

三【教学过程】

第一步：回忆原有知识，告知学习目标。

问题一：回顾平面直角坐标系里如何用平面向量点、直线、平面？能否通过类比平面向量，用空间向量来表示点、直线、平面在空间中的位置。

点：

具体表示方法

取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P→的位置就可以用向量OP来表示

直线：

直线l上一定点A，直线的方向向量a,一定有→对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP→＝tAB（点A与方向向量可确定向量，还具体描述直线任意一点）

平面：

空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数→对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.

问题1：空间直线的方向向量唯一吗？长度有没有要求？

练习：空间直角坐标系中，x轴所在直线的方向向量为a＝ 【设计意图】：复习原有知识，类比激发学***面到空间，培养学生的类比猜测的能力，得出空间几何相关事实性知识。

第二步：导入概念定义，新知识的产生过程，引导学习。

1.引入概念

问题2：能否类比直线的表示方法，给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？

（学习小组讨论研究）

图像



3

定义：平面的法向量：如图（4）如果a，那么向量a叫做平面的法向量。

【设计意图】：通过类比方向向量，理解引入法向量的必要性与巧妙。

2.层现、分析及辨析定义

练***面的法向量唯一吗？长度有没有要求？它们有什么关系？

a，那么直线方向向量与平面法向量有何关系？法向量与平面内任2、如果直线l垂直平面意一向量有何关系？

3、平面的一个法向量能取成（0,0,0）吗？

4、在空间直角坐标系中，平面xOy的一个法向量是（ ）

A 1,0,0 B 0,1,0 C 0,0,1 D 0,1,1

小结：1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.法向量垂直于平面中任何一个向量。

【设计意图】：采用概念同化学习方式，通过学生讨论，交流，加深对法向量概念的理解，归纳出相关性质。

第三步 样例学习及变式训练

1.求直线的方向向量与平面的法向量

例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求下列问题：

（1）

求PC的方向向量，平面ABCD的一个法向量. （2）

求平面PAB的一个法向量. 【设计意图】：加深学生对法向量定义的理解；

（3）

求平面ACE与平面PCD的一个法向量. 问题（1）：能找到垂直于平面ACE的直线吗？如果没有找到的情况下，能否借助法向量特征求解法向量？

问题（2）：待定系数法求解法向量，应该如何操作？先设平面的法向量为n＝(x，y，z)，利用方程思想，三个未知数找三个方程。

问题（3）：法向量长度没有要求，能否简化运算过程？

解

因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.→如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，3，0)，E(0，31，)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，

2231→→于是AE＝(0，，)，AC＝(1，3，0). 224

→n·AC＝0，设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则→n·AE＝0，

x＋3y＝0，即31y＋z＝0，22

x＝－3y，所以z＝－3y，

令y＝－1，则x＝z＝3. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(3，－1，3). →所以PC＝(1，3，－1)，即直线PC的一个方向向量. →设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).因为D(0，3，0)，所以PD＝(0，3，－1). →n·PC＝0，由→n·PD＝0，

x＋3y－z＝0，即3y－z＝0，

x＝0，所以z＝3y，

令y＝1，则z＝3. 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，3).

[小结]：求平面的法向量的方法：1、定义法，2、待定系数法利用待定系数法求平面法向量的步骤

(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z). →→(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC. →n·AB＝0，(3)列方程组：由→n·AC＝0

→n·AB＝0，列出方程组. (4)解方程组：→n·AC＝0.

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 【设计意图】：引导学生思考，得出待定系数法求解步骤，特别是优化计算过程。明确办事的步骤是程序性知识学习的核心内容，进一步加强学生对概念性质的理解。

第四步 运用新学知识，归纳得出新结论。

问题3：怎样用空间向量来空间中的线线、线面、面面有哪些位置关系？（学习小组合作）

设直线l1,l2的方向向量分别为

e1,e2

，平面α，β线线平行： l1//l2线面平行： l1//1面面平行： 的法向量分别为则

n1,n2

e1//e2e1e2e1n1e1n10空间中垂直关系的向量表示：

线线垂直；

l1l21//2n1//n2n1n2e1e2e1e20线面垂直： l11e//nen1111面面垂直：

12nnnn01211【设计意图】：引导学生自己归纳用向量的方法描述线线、线面、面面的平行垂直关系，并转化为向5

量运算。

练习：1、若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线的位置关系是 答案

l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直. 342、若直线l的方向向量为μ1＝2，，1，平面α的法向量为μ2＝3，2，，则直线l与平面23α的位置关系是 2答案

垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l3与平面α垂直. 【设计意图】：巩固新归纳用向量的方法描述线线、线面、面面的平行垂直关系的方法，利用向量的运算得出相关的位置关系。

第五步 样例学习及变式训练

例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求下列问题：

（4）

证明PB//平面ACE

（5）

若点G在线段PD上，PG＝1PD，证明AG CE，AG 平面PCD

4（6）

若F为PC上的动点，当F为何位置时，使得FDPB 【设计意图】：在实际背景下比较几何法与向量法，让学生总结在已求法向量的前提下，体会利用向量解决立体几何问题的便捷与巧妙，并能形成相关类型题的解题策略。

第六步：课堂小结和课外作业

主要内容：一建系，两向量，三计算。 一建系：建立坐标系。 两向量：用方向向量描述直线， 用法向量描述平面。 三计算：通过向量计算得出位置关系。

课外作业：

课时 P145,1－12题 P146 11题

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