3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学实录

第一章导数及其应用1.2 导数的计算1 一、教学目标：

知识与技能：

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、yx2、y2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

过程与方法：

引导生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数，熟悉常见函数的导数；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

1的导数公式；

x1的导数公式及应用

x12

难点：四种常见函数yc、yx、yx、y的导数公式

x2

重点：四种常见函数yc、yx、yx、y三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

（二）探究新知

1．函数yf(x)c的导数

1

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0

xxxylim00

所以ylimx0xx0函数

导数

yc

y0

（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，y0表示函数yc图像则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数yf(x)x的导数

因为yf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

所以ylimx0xx0函数

导数

yx

y1

y1表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数yf(x)x的导数

2yf(xx)f(x)(xx)2x2因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0函数

导数

yx2

y2x

y2x表示函数yx2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx增加得越来越快．若yx表示路222

2

程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

4．函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxx因为

xxxx(xx)1

2x(xx)xxxxy11lim(2)2

x0xx0xxxx函数

导数

所以ylimy1

xy1

x2（2）推广：若yf(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1

（三）应用巩固

1．课本P13探究1 2．课本P13探究2 3．求函数yx的导数

4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有______条．

5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________. 6．曲线y＝14x3在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．

7．求下列函数的导数：

15(1)y＝xx；(2)y＝4；(3)y＝x3；

x(4)y＝log2x2－log2x；

xx1－2cos2. (5)y＝－2sin 42答案提示：

34．2

5．10ln 10

6．－

43333x′＝x－1＝x. 7．解

(1)y′＝(xx)′＝222214－4－4－1－54′＝(x)′＝－4x(2)y′＝＝－4x＝－. xx5

3

3333235x′＝x－1＝x－＝(3)y′＝(x3)′＝. 55555525x1(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝. x·ln 2xxxxxx1－2cos2＝2sin 2cos2－1＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x. (5)∵y＝－2sin442222五、小结

六、作业

1.课时检测

函数

导数

yc

y'0

yx

y'1

yx2

y'2x

y1x

y'1x2

yf(x)xn(nQ*)

y'nxn1

4