5.2 任意角的三角比优质课教学设计

三角函数的概念

（第一课时）

【教学内容及内容解析】

本课题是人教2017版新教材必修1中5.2三角函数的概念. 三角函数的概念是高中数学中一个非常重要的内容，也是高中数学中学习三角函数的基础，它贯穿整个三角函数的学习，其中重要性体现在：

1.三角函数作为基本初等函数，其概念的产生是基于函数概念中任意性和唯一性的对应关系. 2.三角函数是高中刻画周期性变化的重要数学模型. 3.三角函数的概念的学习过程中渗透了数学建模、数学抽象的核心素养的培养. 4.这一节所学习的三角函数的概念既是对所学函数概念的一次升华和再认识，也是以后学习三角函数的性质、图象等等知识的基础，在三角函数整个章节学习中起到了至关重要的作用. 【学情分析】 1.学生在初中学习了锐角三角函数，在高中已经学习了函数的概念以及角的概念的推广并且有一定的数学建模的能力. 2.本班学生在概念的产生以及理解上存在比较大的困难；

基于以上分析，我把本节课的教学目标和教学重难点制定如下：

【教学目标】

1.能描述三角函数的概念，会用三角函数的定义求三角函数值. 2.能表述“锐角三角函数”和本节“三角函数的概念”的区别和联系. 3.通过积极参与三角函数概念的学习，亲身经历三角函数概念的产生过程，培养学生观察问题，提出问题，建立模型的探究能力，进一步培养学生数学抽象、数学建模的核心素养. 【教学重点难点】

重点：正确理解三角函数的概念，能利用定义求解任意角的三角函数值；

难点：三角函数的概念的产生，初中锐角三角函数与本节三角函数的定义的关系. 【评价设计】

表现性评价：学生的学习热情与课堂参与程度（对表情.态度.气氛等及时评价）；

交流式评价：合作讨论，归纳总结能力（对问答.质疑.纠错.改错等及时评价）；

呈现性评价：学生回答问题的正确率，板书的规范（对投影.展示.板演适时评价）.

1

【教学过程设计】

一.课前预习.生成问题

【预习提纲】

预习教材177-120页

思考下列问题：

1.

函数的定义是什么？

2.

初中锐角三角函数的定义是什么？

3.

终边相同的角如何表示？

4.

为什么单位圆与终边的交点P(x,y)中的横坐标.纵坐标及纵坐标与横坐标的比值是关于的函数？

【学生生成问题】

学生生成问题：

1. 锐角三角函数的定义和三角函数的定义有什么不同？

2. 已知终边上除原点外的任意一点的坐标，能否求出角的三角函数值？

【设计意图】预习是为了使学生通过自主学习形成知识的初步印象，预习中产生的问题能激发学生的求知欲.提纲中设置的问题体现了新旧知识的联系，使学生明确应有的知识储备.还体现了由特殊到一般的思维发展过程，引领学生思考这之间的区别和联系.同时培养了学生自主学习.数学建模的能力. 二.创境设问.引入课题

同学们，在巴蜀大地上有很多国家级非物质文化遗产，其包括民歌.民俗.手工技艺等等，而在我们成都锦江区文化馆申报的糖画手工技艺便收录其中，这种技艺在成都的大街小巷都能见到，其中大家最想转到的是哪个了？

三.观察分析.探索新知

如果以OA为始边，进行逆时针旋转. 问题1.设OP所在射线为终边，当角

满足什么条件时才能获得糖画“龙”的奖励？

学生独立思考回答问题

【设计意图】情境的引入不但能弘扬传统文化，也比较自然的抽象出数学知识，为寻找坐标与角的关系做好铺垫. 问题2.若OP的长度为1，以OA所在射线为

轴的非负半轴建系，当P点的坐标为 画“龙”的奖励？

学生回答，教师点拨：

旋转的角能确定终边的位置，终边上的坐标也能确定终边的位置，那旋转的角和P的点坐标有什么联系了？

2

时能否获得糖

【设计意图】问题2从终边上的P点的坐标来确定终边的位置，为寻找P点的坐标与角的关系进一步的做好铺垫. 问题3.角

对应的点P的坐标有几个？

或

呢？任意给定一个角

，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标

还是纵坐标

是否唯一确定？

学生观察并回答问题，教师点拨：一般地，任意给定一个角

,它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标

还是纵坐标

，都是唯一确定的，所以点P的横坐标

.纵坐标

都是角

的函数，因此设

是一个任意角，

，它的终边OP与单位圆相交于点 . (1)

把点P的纵坐标

叫做

的正弦函数，记作 ，即

(2)

把点P的横坐标

叫做

的余弦函数，记作 ，即

(3)

把点P的纵坐标与横坐标的比叫做

的正切，记作 ，即

我们将正弦函数.余弦函数和正切函数统称为三角函数，并记为：

正弦函数

余弦函数

正切函数

【设计意图】通过几何画板动态演示再让学生体会其内在的函数对应关系，为定义的给出创造了先决条件，让定义的得来显得自然.

【探究】. 设

把按锐角三角函数定义求得的锐角

的正弦记为

,并把按本节三角函数定义求得的

正弦记为

,

与

相等吗？对于余弦.正切也有相同的结论吗？

小组讨论后回答，教师点拨：之前已学习了锐角三角函数的定义，为什么本节课还要对其进行定义，试比较它们有什么区别和联系？

【设计意图】让学生探究初中所学习的锐角三角函数和本节所学习的三角函数的差异，更能体现三角函数的定义产生的必要性，也拓展了学生的眼界.

3

四.思考辨析.深刻理解

【例1】求

的正弦.余弦和正切值

学生讲解，总结解答步骤. 【设计意图】巩固三角函数的概念，规范学生的答题步骤. 【变式】求

的正弦.余弦和正切值

学生讲解. 【设计意图】巩固三角函数的概念

【例2】设

是一个任意角，它的终边上（除原点外）任意一点P的坐标为 ，点P与原点的距离为

. 求证：

，

,

学生独立思考，板演. 【设计意图】巩固三角函数的概念，解答学生生成的问题，拓展求解三角函数值的办法. 【变式】已知角

的始边与

轴的非负半轴重合，其终边上一点P 且

，求

的值. 【设计意图】巩固三角函数的概念，突出数形结合的重要性.

五.提炼总结.分享收获

本节课你收获了什么？

1.会描述三角函数的概念，会用三角函数的定义求三角函数值. 2.能表述“锐角三角函数”和本节“三角函数的概念”的区别和联系. 六.布置作业.拓展延伸

必做题：教材P119 练习1.2.3 选作题：教材P120 习题4 思考题：

能通过定义发现三角函数的哪些性质？

【板书设计】

三角函数的概念

一、函数的概念：

一对一，多对一

二、三角函数的概念：

单位圆与终边的交点

的横.纵坐标是关于角

的函数

规范例题解答

4

，

，

三、三角函数通常写成

，

，

四、终边上任一点（除原点） 则

，

,

5