课题三 制作弯管教学设计第二课时

三角函数的应用

七宝中学

沈宗存

学情分析：

授课班级为高一实验班，学生的数学基础相对较好，目前已经学完三角这一章节。课内选取的材料为高一上学期教材中96页课题三《制作弯管》和104页阅读材料《Mechanical Vibrations》。

教学目标：

1.复习函数yAsin(x)B的性质，总结研究函数的一般方法

2.了解三角函数在其他领域中的应用，锻炼阅读国外数学文献的能力

3.制作一个简单的直角弯管，掌握其中的数学原理，培养动手能力

教学重点：

1.灵活应用函数yAsin(x)B的性质

2.理解直角弯管中的数学原理

教学过程：

一、复习

对于函数y2sin(2x周期性

奇偶性

单调性

对称轴

对称中心

最大值

最小值

6),xR，写出它的相关性质。

例1：若f(x)sin(x)3cos(x)为偶函数，求的值。

二、三角函数在其他领域中的应用

例2：阅读课本104页阅读材料《Mechanical Vibrations》

几何画板谱曲演示：三角函数与音乐的关系

视频播放：Tacoma Narrows Bridge坍塌视频

学生上台实验演示金属疲劳现象：重复掰动回形针若干次后铁丝会断裂。

例:3：如图所示，木板与水平地面的夹角可以任意改变。让一个可视为质点的物体从木板的底端以大小恒定的初速率v010m/s沿木板向上

运动，随着的改变，物体沿木板向上滑行的最大距离s将发生变化。重力加速度g10m/s2，物体与木板间的动摩擦因数3。当满足什么条件时，物体沿木板滑3行的距离最小，并求出此最小值。

三、制作弯管

阅读课本96页课题三《制作弯管》

在锅炉、风道、烟道的各种管道中，经常要用到各种弯管，如图6-13（1）、（2）、（3）所示：

在制作这些弯管时，首先要在铁皮上划出它们的展开图，才能加工。例如，图6-13（2）是一个两节圆形管焊接而成的弯管，其中每一节都是斜截圆柱而成。如果把其中一个斜截圆柱的侧面沿着AA1剪开并摊平，如图6-13（4）所示。容易发现，要画出这个斜截圆柱侧面展开图的关键，在于怎样画出截口展开而成的一条曲线A1BCDA1. 探究一：

用A4纸制作一个圆柱，斜截圆柱一分为二，要确保界面是平面。可以将斜截面置于桌面来检验，若截口与桌面没有空隙则为平面。

把其中一个斜截圆柱的侧面剪开并摊平，如图所示。

猜想曲线A1BCDA1是什么曲线？抛物线？圆弧？正弦函数？或者是其他类型的曲线？

以下是利用TI83计算器做的一个函数拟合

步骤一：将圆柱底面的圆周十六等分；

步骤二：从每个等分点画一条与底面垂直的直线，在截口轮廓线上找到与每个等分点对应的点；

步骤三：依次测量每个等分点与其对应点之间的距离，得到以下一组数据：

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 h 10 10.4 11.7 13.5 15.7 17.8 19.6 20.9 21.3 20.9 19.7 17.8 15.7 13.5 11.7 10.5 步骤4：创建n,h两个数组，并以n为Xlist，以h为Ylist作出离散图；

步骤五：用正弦函数模型拟合这两个数组

也可以参照以上步骤，做其他函数模型（如二次函数）的拟合。

探究二：

拟合实验表明，斜截圆柱的截口轮廓线符合函数yAsin(x)B。（该函数的推导过程需要用到高二的立体几何知识，此节课不讲）

问：如图是一个斜截圆柱的侧视图，根据所给出的条件，则拼出这样一个斜截圆柱需要多少面积的材料？

解：侧面展开后，截口轮廓线是一个周期的正弦函数曲线，根据正弦函数的对称性，展开图割补成矩形

长为底面周长8，高为5139

2所以需要72cm2的材料

问：裁剪一张ab大小的矩形纸张，拼接出一个圆柱直角弯管，试求截口轮廓线的正弦函数解析式，

分析：参数B,对曲线的形状没有影响，仅与曲线横向、纵向的位置有关，可忽略不计。因此只需要求解函数yAsinx

解：因为T2b所以又因为2Ad，底面直径d所以y2

bb，所以Adb

22b2xsin,x0,b

2b探究三：用一张16K纸（19.5cm×27cm）制作一个圆柱直角弯管，要使其容积最大，如何裁剪、拼接？请给出设计方案，明确制作步骤。

参考方案：裁剪出的展开图合拢后得到两个斜截圆柱。正弦函数曲线围成一椭圆，两个不同角度拼接，分别成圆柱和弯管，两者等积。

设a19.5,b27

12a若以a为底面圆周，则体积V1bab

4212b若以b为底面圆周，则体积V2aba

42因为ab，所以V1V2

所以，以矩形较长的一边为底边体积大。

22272xsin4.3sin0.23x,x[0,27]

227探究四（课后思考）：裁剪一张ab大小的矩形纸张，拼接一个圆柱弯管，弯管的夹角为y0，截口轮廓线的正弦函数解析式是什么？