正弦定理、余弦定理和解斜三角形第二课时教学实录

5.6.1

正弦定理和解斜三角形

上海市浦东中学 周昶捷

一、教学目标：

1、

知识与技能

掌握正弦定理公式和用两边及夹角正弦表示的三角形面积公式。

2、

过程与方法

经历正弦定理的推导过程，能运用正弦定理解斜三角形。体会数学建模、分类讨论、“特殊到一般，猜想加证明”的思想方法。

3、

情感态度与价值观

领略正弦定理公式具有的对称和谐美。

二、教学重点：正弦定理的发现和证明。

三、教学难点：利用正弦定理解决

“已知三角形的两边及一对角或者已知三角形的两角及一边，求解三角形”问题。

四、教学过程：

斜三角形定义：除了直角三角形以外的三角形，包括锐角三角形及钝角三角形。

三角形六大元素，标记规则，内角和180°等知识。

（一）创设情境

问题：已知上海在铜陵的正东方向350千米处，盐城在上海的北偏西

25°方向上，盐城在铜陵的北偏东41°方向上。那么盐城距离铜陵、上海多远？（精确到1千米）

【教师提问】大家想一想，能否把这个实际问题转化为数学问题？

转化为数学问题：在ABC中，已知CAB49,CBA65,AB350千米，求AC与BC的长。这是一个解斜三角形的问题。

（二）合作探究



探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？

已知ABC为直角三角形，则有sinA于是有关系式：bacsinB，，sinCsin9001

，cccabc

sinAsinBsinC



探究二：上述结论能否推广到斜三角形？ 1、当ABC是锐角三角形时，设边BC上的高是AD，根据三角比的定义，有ADcsinBbsinC，则nsiCnsi从而

cbB。同理，ac（思考如何作高？）， sinAsinCabc. sinAsinBsinC2、从上面的探究我们发现，在直角和锐角三角形中都有：各边和它所对角的正弦的比相等。而在钝角三角形有这样的结论吗？请同学们同桌之间相互讨论，共同探究，说明理由（分类讨论、“特殊到一般，猜想加证明”）

结论1：正弦定理：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，

abc即

sinAsinBsinC注意：正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广。



探究三：另一种证明方法（等积法）

在ABC中，SABC

11ADBCacsinB

22同理可得，SABC11absinC，SABCbcsinA

22于是有SABC111absinCacsinBbcsinA，

222两边同除以abc即得：12abcsinAsinBsinC

结论2：三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。



探究四：正弦定理的基本作用并利用正弦定理解答引例。

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其它的角和边

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其它的角的正弦值和边

问题解：由三角形内角和为180，可知C180496566，由正弦定理，得

accsinA350sin49csinB350sin65289，b347。

Q,asinCsin66sinCsin66sinAsinC因此，盐城距离上海约289千米，盐城距离铜陵约347千米。

（三）教学例题

例1

ABC中，A30,C105,b8,求a,SABC面积结果保留至个位数.

解：B1803010545

babsinA8sin300Q,a42

0sinBsinAsinBsin45SABC

例2 在ABC中，c6,A30,a2,求b和B,C.

1absin105022

2accsinA6sin3003解：Q

,sinCsinAsinCa220C180,C600或1200

C A csinB6sin900当C60时，B90,b22，

sinCsin60000csinB6sin300当C120时，B30,b2

0sinCsin12000b22,B900,C600或b2,B300,C1200

（四）课堂练习

1. 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C。

bccsinB1sin6001解：∵,sinC

sinBsinCb23Qbc,B600,CB,C为锐角，C300,B900

∴ab2c22

说明：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍。

（五）课堂小结

1、正弦定理及用两边及夹角正弦表示的三角形面积公式。

2、明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：

(1)已知两角一边；(2)已知两边和其中一边的对角。

3、数学建模、“特殊到一般，猜想加证明”的思想方法。

4、领略正弦定理公式具有的对称和谐美。

（六）数学史自主探索

“三角学” (trigonometry)一词源于希腊文“三角形”和“测量”两词的组合，原意为三角形的测量，或者说解三角形它从最初研究到最后的学说确立，经历了很长的时间。

1.小问题：三角学何时输入我国的？有哪些中国数学家的著作？

2.搜索关键词：三角测量、天文学、航海

（七）课后作业

1.完成校本练习的课后作业。

3.网上自主查找数学史，了解相关数学史与文化。