5.3 同角三角比的关系和诱导公式优质课教学设计

课题：5.3诱导公式（1）

文建中学

王莲娣

【教学目标】

1、理解并掌握诱导公式的基本内容，应用诱导公式解决三角式的求值、化简问题；

2、经历诱导公式的推导过程，体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；

3、通过诱导公式学习，领悟不同角的三角比的内在联系，感受三角的个性美。

【教学重点】诱导公式的推导。

【教学难点】寻找诱导公式的推导方法。

【教材内容分析】

诱导公式是教材在研究了同角的三角比关系的基础之上安排的，对比同角三角比的关系，诱导公式则是研究不同角的但关系又非常密切的三角比的关系，其内容在三角比中占有非常重要的地位，无论是计算、化简还是证明都运用灵活，公式繁多，又不容易死记硬背，很容易给学习留下隐患；因此教学中要引起学生的高度重视，要准确把握学生的学习基础和学习情况，充分展示知识的发生过程，揭示知识之间的内在联系，关注学生对知识的理解，切实为后续的学习和灵活运用打好基础。

【教学过程】

一【复习引入】

问题1：任意角的三角比的定义。

引入：上节课中我们学习了同一个角的三角比之间的关系，能够由角所在的象限和它的一个三角比求出其余的三角比。其实，不同角但关系非常密切的两个角的三角比之间也有一定的联系。

问题2：与角终边相同的所有角（包含）的集合。

由这两个问题总结出任意角三角比的第一组诱导公式：

sin(2k)sin，cos(，cot(2k)cos，

。

tan(2k)tan2k)cot作用：这组公式可以把任意角的三角比转化为[0,2)区间上的角的三角比。

（设计目的：复习回顾第一组诱导公式的形成过程及其应用,加深学生对公式和作用的理解）

引入：过渡：接下来我们继续研究角与的终边对称关系及三角比之间的关系。

二【新知探究】

问题3：角与的终边分别具有怎样的对称关系？它们的三角比之间又会有怎样的关系呢？

探究过程：1、角与的终边的对称关系，三角比之间关系。

（1）如右图1，在直角坐标系中，已知角的终边OP，的终边y请在图1中作出角的终边：

（2）角与角的终边关于

x轴

对称。

OP（3）在单位圆中，角的终边与单位圆的交点P的坐标是P(cos,sin)x；

图1 1 （4）在单位圆中，角的终边与单位圆的交点P1的

坐标是P1(cos(),sin())。

（5）点P1与点P关于x轴 对称。

（6）根据以上四个问题的理解，你能得到角与角的正弦、余弦三角比之间的关系吗？

如能，应该是： 。

因为P1与P关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标相反, cos()cos，sin()sin

根据同角三角比的商数关系，你能推导出角与角的正切、余切的关系吗？

关系是： 。

由三角比的商数关系：tan()sin()sintan，

cos()cos同理：cot()cot。

（设计目的：通过问题的设计，引导学生的思考，激活学生的思维）

任意角三角比的第二组诱导公式：

sin()sin，cos()cos，tan()tan，cot()cot。

例1、求角3的正弦、余弦和正切的值。

（7）你能理解这组公式在求任意角的三角比中有何作用吗？

作用：这组公式可以把任意负角的三角比转化为正角的三角比。

【自主探究】

问题4：角与的终边的对称关系，三角比之间关系。

任意角三角比的第三组诱导公式：

sin()sin，cos()cos，

tan()tan，cot()cot。

作用：这组公式可以把在[0,2)中大于角的三角比转化为[0,)的三角比。

问题5：角与的终边的对称关系，三角比之间关系。

任意角三角比的第四组诱导公式：

sin()sin，cos()cos，

tan()tan，cot()cot。

问题6：能否利用以上的第二与第三组诱导公式来推导第四组诱导公式？请来试试吧！

作用：这组公式可以把在[0,)钝角的三角比转化为锐角的三角比。

（设计目的：培养学生自主探究的意识和能力）

三【公式记忆方法】

问题7：这么多公式你能寻找到规律来帮助我们记忆吗？

:公式的记忆方法：三角名不变，符号看象限。（把角看成锐角）

四【公式应用】

2

例2、利用诱导公式，求cos(154)的值。

问题8：根据例2的转化过程，大家能否尝试总结：利用诱导公式把任意角的三角比转化为锐角三角比的一般步骤？

（1）负角变正角；（2）变到[0,2)区间上的角；（3）变到[0,)区间上的角；（4）变到[0,区间上的角。

（说明：变化方法并不是唯一的，想一想：还可以怎么变化？）

例3 化简：sin()cos(5)tan(3)sin()tan(7)cos(2)2]结果为

。

五【练习反馈】

1 利用诱导公式，求下列三角比的值。

（1）tan(1560)

（2）sin76

（3）cos114

2 填写下表：



sin3

23

43

53

73

cos



tan六【归纳小结】

大家回到学案前面的学习目标，通过这节课的学习，学习目标你达成了吗？

1、理解诱导公式的推导过程：诱导公式二、三、四的推导中，我们借助了单位圆，利

用

数形结合

方法，根据

点的对称的有关知识

来完成了诱导公式的推导。在这个过程中体验了数形结合思想。

2、能应用这些公式将任意角的三角比化归到区间[0,2]上的三角比的计算，以及进行简单的三角函数式的化简；转化的一般步骤是：（1）负角变正角；（2）变到[0,2)区间上的角；（3）变到[0,)区间上的角；（4）变到[0,2]区间上的角。

在诱导公式的应用过程中体验了化归与转化的数学思想。

3、理解并掌握诱导公式的记忆方法：

三角名不变，符号看象限。（把角看成锐角）

七【课后作业】

（1）教材P49练习5.3（2）1（1）（2）（3）（4）；2（1）（2）

（2）练习册P1718练习5.3A组1、4 （2）思考题：

已知cos(75)13，其中为第三象限的角，求cos(105)cos(105)的值。

八【课后反思】

“三角比”一章中公式众多，历来教师教得吃力，学生学得吃力；而“诱导公式”的教学可如白开水入口一样淡而无味，只需区区十个字“三角名不变，符号看象限”就可搞定其

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中第一部分教学的十六个公式，然后马上转入公式的应用；但细细品味，白开水也有一丝淡淡的甘甜，诱导公式是三角恒等变换的基础之一，并体现了数形结合及化归、转化的重要数学思想，如何组织教学是课前必须要思考的问题。

教学是由教师指导的学习过程，学生是学习的主体。数学教学就是教师引导学生进行数学活动，在师生之间、学生之间的积极交往和互动中，完成学习任务，实现共同发展。在这节课中，教师要由“重教”转为“重学”，由“强制学生适合教学”转为“创造适合学生的教学。”

而概念是思维的基本形式之一，是数学知识学习的细胞，如何揭示其抽象的本质，是我们不能回避且不能不考虑的问题。本节课通过点的对称巧妙地将四组诱导公式串珠成线，并通过任意角的三角比连线成面，这正是“数学知识的发生、发展、形成和应用的过程，不仅是课程目标内容，也是课程学习内容”在教师教学行为上的具体表现；然后再顺理成章地解决学生提出的关于“公式记忆”的问题，设计思路流畅，教学效果明显。

课中师生关系民主、平等、和谐，在相对宽松的教学氛围中，为学生提供更多的机会和时间，让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结等，促使学生的思维空间充分开放；特别是在利用诱导公式化简cos(154)时，提倡学生发散性思维，并不强求数学问题解答标准化，而是鼓励学生进行求异思维和大胆发表独特见解，让学生在积极探索和思考的过程中，逐步形成一种以创新的精神来看待问题和思考问题，从更广阔的领域去获取知识和应用知识的心理品质，效果确实不错。

另外，本节课尝试以“一课四导”为媒介。建立在“学生提前阅读部分新课内容，并复习与本节课相关的基础知识及基本数学思想方法”的“导读”部分让学生对即将学习的新课心中有数；接着在“导思”部分中，教师通过设计一系列问题加深学生对将要学习内容的进一步思考，促进了学生的有效学习；在以上两个学习环节中，学生个体难免会有这样或那样的疑问，在课堂学习过程中给学生解疑的时间与空间，可以师生、生生交流，如本节课中学生及时提问“16个公式如何准确记忆？”，老师也顺水推舟及时将学生的思维活动指向疑难问题的解决，“导疑”部分处理得十分贴切；“导习”部分的设计也充分体现了学以致用的教学原则。

当然，本节课也有诸多不到之处，以后逐步改进；总之，通过本次课，让我思考得更多，对如何设计一堂有效地高一、高二的新授课，有了更进一步的认识。

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