1.1.1 命题第二课时教学设计

高二下导学案

常用逻辑用语

1.1.1 命题

学习目标

1．了解命题的概念．

2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式．

自学导引

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题，判断为真的语句叫做_______，判断为假的语句叫做_______ ．

想一想：“x<3”是命题吗？

2．命题的形式

在数学中， _______是常见的命题形式，命题中的__叫做命题的条件，__叫做命题的结论．

试一试：尝试找出命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件与结论．

3．命题的判定

判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假。

4．命题的构成

命题的结构形式为“若p，则q”．其中p是命题的条件，q是命题的结论，有些命题不是“若p，则q”的形式，为了找到命题的条件和结论，我们可把命题改写成“若p，则q”的形式．

5．命题的真假

(1)命题分为真命题和假命题，一个命题要么是真命题，要么是假命题，不可能既是真命题又是假命题．

(2)“若p，则q”形式的命题的真假判定方法：若由已知条件p经过正确的逻辑推理，能够推出结论q成立，则可确定命题“若p，则q”是真命题，否则就是假命题．另外，判定22一个命题是假命题，举一个反例即可．如“－x是负数”是假命题，因为当x＝0时，－x＝0不是负数．

(3)数学中的公理、定理、公式等都是真命题．

自主测评

1．下列语句中，命题的个数是( ) ①空集是任何集合的真子集；②请起立；③单位向量的模为1；④你是高二的学生吗？

A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题为假命题的是( ) πA．log24＝2 B．直线x＝0的倾斜角是2

C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则α∥β

ab3．给定下列命题：①若a＞b，则2＞2；②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；③命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是“这个四边πABBC形的对角线垂直”；④直线x＝2是函数y＝sinx的一条对称轴；⑤在△ABC中，若→·→＞0，则△ABC是钝角三角形．其中为真命题的个数是( ) A． 2 B．3 C．4 D．5 4．把命题“函数f(x)＝sinx是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是_____________．

5．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是 ．

典型例题

题型一 命题的判断

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常用逻辑用语

例1.

下列语句：

①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？

②一个数的算术平方根一定是非负数；

③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；

④请完成第九题；

⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．其中是命题的是________．

变式1：.

下列语句是命题的是

( )．

A．x－1＝0

B．2＋3＝8 C．你会说英语吗

D．这是一棵大树

规律方法：判断一个语句是否是命题的步骤：

第一步：语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题，而疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题．

第二步：该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，内容应是明确的，不能模棱两可．

题型二

命题真假的判断

例2、判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d ∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)对任意的x∈N，都有(3)若m>1，则方程>成立；

－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆．

变式2：.

下列命题：

①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；

④若ac>bc，则a>b.其中真命题的序号是________．

规律方法

：要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

题型三

将命题改写成“若p，则q”的形式

例3、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当ac>bc时，a>b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

. 变式3：把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．

(1)等边三角形的三个内角相等；

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常用逻辑用语

(2)当a>0时，函数y＝ax＋b的值随着x的值的增加而增加；

(3)菱形的对角线互相垂直．

规律方法：把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一．如本例(1)也可改为“若一个数是一个实数的平方，则它是非负数”．

误区警示 由于概念不清导致错误

示例、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

(1)矩形难道不是平行四边形吗？

(2)垂直同一个平面的两个平面必平行吗？

(3)大角所对的边大于小角所对的边；

(4)x＋y是有理数，则x、y也都是有理数；

(5)求证x∈R，方程x＋x＋1＝0无实根．

[错解] 因为(1)是反问句，故不是命题．

(2)不是命题．

(3)(4)是假命题．

(5)是祈使句，不是命题．

[正解] (1)通过反问句，对矩形是平行四边形作出判断，是真命题．

(2)疑问句，没有对垂直于同一个平面的两个平面平行作出判断，不是命题．

(3)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中．

(4)是假命题，如(5)祈使句，不是命题．

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常用逻辑用语

达标测试

1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是 ( )．

A．不是命题 B．真命题

C．假命题 D．不能判断真假

2．下列命题中是假命题的是 ( )．

A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若ac2>bc2，则a>b D．5>3 3．在下列4个命题中，是真命题的序号为 ( )①3≥3；

②100或50是10的倍数；

③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；

④等腰三角形至少有两个内角相等．

A．① B．①② C．①②③ D．①②④

4．下列语句是命题的是______．

①求证是无理数； ②x2＋4x＋4≥0；

③你是高一的学生吗？ ④一个正数不是素数就是合数；

⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0. 5．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．

(1)相似三角形的对应角相等；

(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数．

6．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)ac＞bc⇒a＞b；

(2)已知x、y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

(3)当m＞14时，mx2－x＋1＝0无实根；

(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.

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