1.1.3 四种命题间的相互关系全国优秀课堂实录

1．1.2

四种命题

1．1.3

四种命题间的相互关系

学习目标

1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一

四种命题的概念

思考1

初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

思考2

除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？

梳理

名称

阐释

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的互逆命题

________________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的____________ 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的互否命题

________和结论的________，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的____________ 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆互为逆否命题

否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的________________

知识点二

四种命题间的相互关系

思考1

命题与其逆命题之间是什么关系？

思考2

原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？

梳理

(1)四种命题间的关系

(2)四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

逆否命题

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系．

知识点三

逆否证法与反证法

1．逆否证法

由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题．

2．反证法

(1)反证法的步骤：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．

(2)反证法导出结果的几种情况：

①导出綈p为真，即与原命题的条件矛盾；

②导出q为真，即与假设“綈q为真”矛盾；

③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；

④导出自相矛盾的命题．

3．反证法与逆否证法的联系

(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性．

(2)起步相同：都是从“綈q”(即否定结论)出发(入手)；

(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现．

4．反证法与逆否证法的区别

(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“綈p”(即否定条件)；

(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论．

类型一

四种命题的关系及真假判断

命题角度1

四种命题的写法

例1

把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等．

反思与感悟

由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．

跟踪训练1

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．

命题角度2

四种命题的真假判断

例2

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)若a>b，则ac2>bc2；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．

反思与感悟

若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．

原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．

在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2

下列命题中为真命题的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④

C．②③④

类型二

等价命题的应用

例3

证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

反思与感悟

因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别．

跟踪训练3

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

B．①③④

D．①④

类型三

反证法的应用

πππ例4

若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c236中至少有一个大于0.

反思与感悟

(1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明．用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

(2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：

等于

原词

(＝) 否定

词语

(>) (<) 不是

(≠) (≤) (≥) 不都是

两个

(n＋1)个

没有

不等于

不大于

不小于

大于

小于

是

都是

一个

至少有

n个

至少有

一个

一个也

至多有

至多有

至少有

跟踪训练4

设a，b，c∈R，且a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．

1．命题“若綈p，则q”的逆否命题为(

) A．若p，则綈q

B．若綈q，则綈p

C．若綈q，则p

D．若q，则p

2．下列命题为真命题的是(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．

4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．

若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．

思考2

有．

梳理

结论和条件

逆命题

否定

否定

否命题

结论的否定和条件的否定

逆否命题

知识点二

思考1

互逆．

思考2

原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．

梳理

(2)真

真

假

真

真

假

假

假

①相同

②没有

题型探究

例1

解

(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0. 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．

否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0. 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．

(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0. 逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2. 否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0. 逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2. (3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．

逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．

否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．

逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．

跟踪训练1

解

(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

例2

解

(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．

否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．

(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．

跟踪训练2

B 例3

证明

方法一

原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

方法二

假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，

因此假设不成立，故a＋b≥0. 跟踪训练3

证明

“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1 ＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0. ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．

例4

证明

假设a、b、c都不大于0，

即a≤0，b≤0，c≤0，

则a＋b＋c≤0. π而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z

2

ππ＋＋z2－2x＋

36＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，

∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

因此a、b、c中至少有一个大于0. 跟踪训练4

证明

假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．

∴a2＋b2为偶数．而c2为奇数，

∴a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾．

∴假设不成立，原命题成立．

当堂训练

1．C

2.A 3．若x>0，则x>1

若x≤0，则x≤1

4.4 5．解

(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．

(2)命题p的否命题是真命题．

判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题．