1.1.3 四种命题间的相互关系教学创新设计

1．1.3 四种命题间的相互关系 湘西州民族中学

1．1.3

四种命题间的相互关系

湘西州民族中学

彭昌泽

一、【三维目标】

1.知识与技能

掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的相互关系并能判断命题的真假．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

二、【重点难点】

重点：四种命题之间相互的关系．

难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．

三、【教学过程】

导思1 下面四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

1．根据以上定义，如果把命题(2)称为原命题，那么其他三个命题分别是命题(2)的什么命题？

【提示】

命题(1)是原命题的逆命题；命题(3)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的否命题．

2．如果把命题(3)称为原命题呢？

【提示】

命题(1)是原命题的否命题；命题(2)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的逆命题．

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1．1.3 四种命题间的相互关系 湘西州民族中学

四、【典例精讲】

例1.

下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③

C．②③

B．①③

D．①

【思路探究】

(1)你能直接改写命题并判断真假吗？

(2)四种命题的真假关系有何特点？能否利用这一关系判断？

【自主解答】

①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．

③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程x2＋x－m＝0无实根，

1∴判别式Δ＝1＋4m<0，m<－4，

故m≤0，为真命题．

所以正确的命题是①③. 【答案】

B 【小结】：1．一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：

原命题

真

真

假

逆命题

真

假

真

否命题

真

假

真

逆否命题

真

真

假

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假

假

假

假

2.四种命题的真假性之间的关系：①两个命题是互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题是互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；③四种命题为真命题的个数只能为0,2,4个．

例2.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的22解集是空集，则a＜2”的逆否命题的真假．

【思路探究】

(1)你能写出此命题的逆否命题并判断其真假吗？(2)直接判断此命题的真假可以吗？

【自主解答】

法一

原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．

判断真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

∵a≥2，∴4a－7＞0，

即抛物线与x轴有交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．

法二

先判断原命题的真假如下：

∵a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，

∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0. 7∴a＜4＜2. ∴原命题是真命题．

∵互为逆否命题的两个命题同真同假，∴原命题的逆否命题为真命题．

五、【跟踪训练】

1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(

) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|

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C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

【解析】

命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”．

【答案】

D 2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【解析】

原命题与逆否命题为真命题；逆命题与否命题为假．

【答案】

B 3．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．

【解析】

否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．

【答案】

若a≤b，则2a≤2b－1 4．(2014·临沂月考)判断命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

【解】

∵m＞0，∴4m＞0，∴4m＋1＞0，

∴方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝4m＋1＞0，

∴方程x2＋x－m＝0有实数根，

∴原命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”为真命题．

又∵原命题与它的逆否命题等价，

∴“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题. 六、【提炼精华

我有所得】

七、【课后作业】

1、必做题：

4

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2、选做题：

八、【教学反思】

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