习题2.1教案设计（一等奖）

求曲线轨迹方程的方法

一、

直接法

例1 如图1，过点P(2，4)作相互垂直的直线求线段AB的中点Ml1,l2,若l1交x轴于A，l2交y轴于B，的轨迹方程。

解：设M(x，y)为所求轨迹上的任意一点。

因为M为AB中点，则A(2x,0),B(0,2y)，又因

l1l2且l1,l2过点P(2，，则4)PAPB，即kPAkPB1

因为kPA442y442y(x1),kPB,则1,

22x222x2即有x2y50(x1)

当x=1时，A(2，0)，B(0，4)，此时AB中点M的坐标为(1，2)，它也满足方程x2y50,故所求点M的轨迹方程为x2y50

点评：这是直接法求轨迹方程，利用了动点满足的明确的等量关系，获得动点轨迹方程。

二、

定义法

例2、已知两圆C1:(x4)2y22,C2:(x4)2y22,动圆M与两圆C1,C2都相切，求动圆M圆心的轨迹方程。

解：动圆M与两圆C1,C2都要相切，有四种情况：

(1)

动圆M与两圆都外切

(2) 动圆M与两圆都内切

(3)动圆M与C1内切，与C2外切

(4)动圆M与C1外切，与C2内切

在情况(1)(2)下，动圆圆心M的轨迹方程为x0，在情况(3)下，设动圆M的半径为r,则MC1r2,MC2r2,故得MC2MC122，在情况(4)下，同理可得MC1MC222，从而MC1MC222，根据双曲线定x2y21。

义，可知点M的轨迹方程为：214点评：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程

三、

相关点法

例3、设点P(x0,y0)在直线l:xm(ym,0m1)上，过点P作双曲线

x2y21的两条切线PA、PB，切点为A，B，定点M(1,0),m

过点A作直线试求AMN的重心Cxy0的垂线，垂足为N，所在的曲线方程。

解：设A(x1,y1),则垂线AN的方程为y-y1xx1

yy1xx1xyxy由得垂足N(11,11)

22xy011x1y1x(x)13m2设重心G(x,y),则有

y1(y0x1y1)13239x3ymx14解得

39y3xym14由x12y121可得：(3x-3y即(x11)(3x+3y)2

mm122)y2为重心G所在的曲线方程。

3m9点评：相关点法适合的题型特征是题设中存在两个或两个以上相互联系的动点，一个或一个以上的动点在已知轨迹上运动，求另一个动点的轨迹方程。

四、

参数法

例4、已知曲线C：xy1(ab0)所围成的封闭图形的面积为45，曲线abC1的内切圆半径为25，记C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆。

3(1)求椭圆C2的标准方程；

l是线段AB的垂直平分线，(2)设AB是过椭圆C2中心的任意弦，若MOOA(O为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程。

x2y21

解：(1)易求得椭圆的标准方程为54

(2)

假设AB所在直线斜率存在且不等于零，设AB所在直线方程为ykx(k0),设A(x1,y1)

x2y22020k2122,yA解方程组5

得xA

42245k45kykx所以OAxAyA2222020k220(1k2)

45k245k245k2设M(x,y)由题意知MOOA(0)，

20(1k2)所以MOOA，即xy

245k2222221x因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为yx,即k

kyx220(12)22y222220(xy)因此xy,又x2y20,

222x4y5x452yx2y22,当k0,上式仍成立。则5x4y20,故

45222x2y22(0)。

综上所述，M点的轨迹方程为54无论用哪种方法求轨迹方程，都应该注意轨迹方程的纯粹性和完备性，求出的轨迹方程中若有不符合轨迹条件的点存在，则该方程及其曲线不满足纯粹性；求出的轨迹方程所表示的曲线不是所有适合条件的点的集合，即曲线之外还有适合条件的点存在，则该方程及其曲线不满足完备性，求解轨迹问题时要避免轨迹方程不满足纯粹性和完备性错误。

小结：求曲线的轨迹方程一般用直接法、待定系数法、相关点(代入)法、参数法。求曲线方程的基本步骤是：

1、建系设点，建立恰当的平面直角坐标系，设出轨迹上任意一点的坐标。

2、找等量关系，找到动点与已知点、线满足的关系。

3、代点，用动点和相关点的坐标表示以上关系。

4、化简，把以上关系式化简。

5、证明，证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。