1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学评价实录

1．4.3

含有一个量词的命题的否定

观察下列命题：

(1)被7整除的整数是奇数；

(2)有的函数是偶函数；

(3)至少有一个三角形没有外接圆．

问题1：命题(1)的否定是“被7整除的整数不是奇数”，对吗？

提示：不对．这是一个省略了量词“所有的”的全称命题．它的否定为：被7整除的整数不都是奇数，即存在一个被7整除的整数不是奇数．

问题2：命题(2)的否定是“有的函数不是偶函数”，对吗？

提示：不对．应为：不存在函数是偶函数，即每一个函数都不是偶函数．

问题3：判断命题(3)的否定的真假．

提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．

含有一个量词的命题的否定

全称命题的否定

[例1]

判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)任何一个平行四边形的对边都平行；

(4)负数的平方是正数．

[思路点拨]

先判断命题的真假，再写出命题的否定．

[精解详析]

(1)是全称命题且为真命题．

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．

命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．

(3)是全称命题且为真命题．

命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．

(4)是全称命题且为真命题．

命题的否定：某个负数的平方不是正数．

[一点通]

(1)全称命题的否定为特称命题．p：∀x∈M，p(x)成立⇒綈p：∃x0∈M，綈p(x0)成立．

(2)命题p的否定为“非p”，二者真假性相反．当一个命题的真假不易判断时，可以通过“非p”的真假判断．

1．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．

解析：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，有綈p(x0)”．

∴其否定为∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤0. 答案：∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤0 2．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)任何一个素数是奇数．

(2)所有的矩形都是平行四边形．

(3)∀a，b∈R，a2＋b2>0. (4)被5整除的整数，末位数字是0. 解：(1)是全称命题，其否定为存在一个素数，它不是奇数．因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．

(2)是全称命题，其否定为存在一个矩形，它不是平行四边形．它是假命题．

(3)是全称命题，其否定为∃a，b∈R，a2＋b2≤0.它是真命题．

(4)是全称命题，其否定为存在被5整除的整数，末位不是0.因为15能被5整除，其末位为5，

所以是真命题．

特称命题的否定

[例2]

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0∈R，x20＋1<0；

(4)∃x0，y0∈Z，使得

2x0＋y0＝3. [思路点拨]

写命题的否定时注意更换量词并否定结论．

[精解详析]

(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

2(3)命题的否定是“不存在x0∈R，使x0＋1<0”，即“∀x∈R，x2＋1≥0”．x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．

(4)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．

当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，

因此命题的否定是假命题．

[一点通]

(1)特称命题的否定是全称命题，特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是“∀x∈M，綈p(x)”．

(2)要证明特称命题是真命题，只需要找到使p(x0)成立的条件即可．

33．命题“∃x0∈R，x0－x20＋1>0”的否定是(

) A．∀x∈R，x3－x2＋1<0 2B．∃x0∈R，x30－x0＋1≤0 2C．∃x0∈R，x30－x0＋1<0 D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0 解析：特称命题的否定是全称命题，x3－x2＋1>0的否定是x3－x2＋1≤0，故D正确．

答案：D 4．写出下列特称命题的否定，并判断其真假．

(1)p：∃x0＞1，使x20－2x0－3＝0；

(2)p：若an＝－2n＋10，则∃n0∈N*，Sn0＜0；

(3)p：∃x0∈R，x0＞2；

(4)p：∃x0∈R，x20＜0. 解：(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假) (2)綈p：若an＝－2n＋10，则∀n∈N*，Sn≥0.(假) (3)綈p：∀x∈R，有x≤2.(假) (4)綈p：∀x∈R，x2≥0.(真)

根据全称命题的概念求参数的范围

[例3]

若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值

范围．

[思路点拨]

因为此命题是全称命题，所以应满足在所给条件下恒成立．令f(x)＝x2－2ax＋2，只需当x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a成立，可以利用一元二次不等式与一元二次函数的关系解题．

[精解详析]

法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)．令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立．

又f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴∀x∈[－1，＋∞)，

22－a，a≥－1，f(x)min＝

221＋a＋2－a，a<－1.

a≥－1，a<－1，因为f(x)的最小值f(x)min≥a，∴或⇒－1≤a≤1或－2222－a≥a，1＋a＋2－a≥a

3≤a<－1，得a∈[－3,1]．

法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0. 令f(x)＝x2－2ax＋2－a，

所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0成立．

Δ＝4a－42－a>0，所以Δ≤0或a<－1，f－1≥0，即－2≤a≤1或－3≤a<－2. 所以－3≤a≤1. 综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．

[一点通]

全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某些性质，因此属于恒成立问题，而恒成立问题往往借助于函数思想或数形结合思想最终归结到函数的最值问题上．

5．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，2]

C．(－2，＋∞)

B．[2，＋∞) D．(－2,2) 2

解析：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对∀x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0.当a＋2＝0时，不符合题意．

a＋2>0，故有

Δ≤0，

解得a≥2. 答案：B

6．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是________．

解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0. 当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1

故0

答案：(－∞，1)

1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．

2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

3．常用词语的否定如下表：

量词

都是

否定

不都是(即至少有一个不是)

一个也没有

某一个

量词

存在

否定

不存在

至少有两个

不大于

1．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则(

) A．綈p：∃x0∈R，cos x0≥1 B．綈p：∀x∈R，cos x≥1 C．綈p：∃x0∈R，cos x0>1 D．綈p：∀x∈R，cos x>1 解析：全称命题的否定为特称命题，

∴∀x∈R，cos x≤1的否定为：∃x0∈R，cos x0>1. 答案：C 2．下列命题中，真命题是(

) A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

必有一个

任意的

至多有一个

大于

C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数

D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数

解析：只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．

答案：A 3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(

) A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0) b解析：由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，2a即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．

答案：C 4．已知命题p：对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是(

) A．[－2,2]

C．(－∞，－2]

B．[2，＋∞) D．[－2，＋∞) 解析：因为綈p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．

由4x＋2xm＋1＝0，

4x＋1x1得－m＝x＝2＋x≥2. 22∴m≤－2. 答案：C 5．命题“∀x∈R，x2－x＋4>0”的否定是________．

解析：“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，綈p(x0)”，

∴其否定为：∃x0∈R，x20－x0＋4≤0. 答案：∃x0∈R，x20－x0＋4≤0 6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．

解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”．

答案：有的向量与零向量不共线

7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)二次函数的图象是抛物线．

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．

(3)有些四边形存在外接圆．

(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．

解：(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．

(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．

(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．

(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．

8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

解：对于命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，

只需12－a≥0恒成立，即a≤1；

对于命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0成立，

则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1. 若p且q为真，则a≤－2或a＝1. 故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．