二、圆锥曲线的离心率与统一方程公开课参赛课教案

圆锥曲线的离心率的求值或取值范围

【高考地位】

圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】

方法1 定义法

解题模板：第一步 根据题目条件求出a,c的值

c，求出离心率e. a例1.

若椭圆经过原点，且焦点为F11,0、F23,0，则其离心率为（ ）

3211A. B. C. D.

4324 第二步 代入公式e

x2y2A和B是以O为圆心,以【变式1】已知F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点,ab|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为 ( ). A.

31

2 B.31

C. 31

D.2

x2y2【变式2】双曲线221（a0，b0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右ab2支交于A、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e（ ）

A. 122 B. 422 C. 522 D. 322

x2y2【变式3】已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点Pabac使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）

sin∠PF1F2sin∠PF2F1A．(1，2＋1) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(2＋1，＋∞)

第

1 页

共

6 页

x2y2【变式4】若双曲线221

(a0,b0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab（其ab中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（

）

A．(1,

5757] B．(1,] C．[,) D．[,)

2222x2y2【变式5】如图，F1、F2是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左ab右两支分别交于点A、B.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为

A.4 B.7 C.

23 D.3

3

【变式6】若椭圆经过点2,3，且焦点为F，则这个椭圆的离心率等于________．

（，0），F（，0）1222

【变式7】如图,等腰梯形ABCD中, AB2DC,3AE2EC.一双曲线经过C,D,E三点,且以A,B为焦点,则该双曲线离心率是 ________.

x2y2222【变式8】过双曲线221(ba0)的左焦点F(c,0)(c0)作圆xya的切线，切点为E，ab延长FE交抛物线y4cx于点P，O为坐标原点，若OE21(OFOP)，则双曲线的离心率为 . 2

第

2 页

共

6 页

方法2 方程法

解题模板：第一步 设出相关未知量；

第二步 根据题目条件列出关于a,b,c的方程；

第三步 化简，求解方程，得到离心率. x2y2P是准线上一点，例2. 已知双曲线221(a0，b0)的左、右焦点分别为F且PF1PF2，F2，1，abPF1PF24ab，则双曲线的离心率是（

）

Ａ．2

Ｂ．3

Ｃ．2

Ｄ．3

x2y2【变式1】

已知双曲线221的渐近线方程为y3x，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭ab圆的离心率等于（ ） A.

1

B. 223 C.

D.1

22x2y221相切，则该双曲线的离心率等【变式2】设双曲线2－2＝1a＞0，b＞0的渐近线与抛物线y＝x＋ab于（ ）

（A）3 （B）2 （C）5 （D）6

x2y2x2y2【变式3】

已知ab0，椭圆C1的方程为221，双曲线C2的方程为221，C1与C2的abab3离心率之积为，则C2的渐近线方程为（ ）

2A.x2y0 B.2xy0 C.x2y0 D.2xy0

x2y2【变式4】已知双曲线221(a0,b0)与函数yx(x0)的图象交于点P. 若函数abyx在点P处的切线过双曲线左焦点F(1,0)，则双曲线的离心率是（ ）

3515231A.

B.

C.

D.

2222

x2y2【变式5】已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，若直线y=2x与双曲线的ab一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为

A.2+1

B.3+1 C.3+ 2 D.2

x2y2【变式6】已知F1,F2分别是双曲线C：221(a0,b0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双ab曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cosPF2F1等于( ). 3345

A．

B．

C．

D．

5456

第

3 页

共

6 页

x2y2【变式7】设双曲线221(a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于ab3A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OPOAOB(,R)，，16则该双曲线的离心率为（ ）

A．

9233532B．C．D．

83 5 2 22xy1【变式8】过点M(11(ab0)相交于A,B，若M是线段,1)作斜率为的直线与椭圆C：22ab2AB的中点，则椭圆C的离心率为 .

[

x2y2【变式9 】如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆221(ab0)的四个顶点，Fab为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭

圆的离心率为 .

x2y2【变式10】已知双曲线E:221(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y2x,l2:y2x. ab （1）求双曲线E的离心率；

（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点（A,B分别在第一，

四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公

共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由. 源:学*科*网Z*X*X*K]

第

4 页

共

6 页

[来

方法3 借助平面几何图形中的不等关系

解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，

第二步 将这些量结合曲线的几何性质用a,b,c进行表示，进而得到不等式，

第三步 解不等式，确定离心率的范围. 例3.已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

2 B.2 3 C.3A. D.0,,10,,1222[来源:学科网ZXXK]

2

x2y2【变式1】已知F1,F2分别为双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一ab2PF1点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

PF2

学§科§网Z§X§X§K]A.1,3 B. 1,3 C.3,3 D.3,





x2y2【变式2】已知椭圆C1:221(ab0)与圆C2:x2y2b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点abP所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）

A．[,1) B．[122323,] C．[,1) D．[,1)

2222

方法4 借助题目中给出的不等信息

解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；

第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解. [来源:Zxxk.Com]x2y2例4.已知椭圆221(ab0)上一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点，若AFBF,设abABF,且,,则椭圆离心率的取值范围是

. 124yAxF1BoF

第

5 页

共

6 页

【变式1】设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|3d则双曲线离心率的取值范围是（

）

A．(1,2] B．[2,) C．(1,3] D．[3,)

]，x2y2x2y21有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的1与双曲线C2:【变式2】已知椭圆C1:mnm2n取值范围为（ ）[来源:学科网ZXXK]

A．(122,1) B．(0,) C．(0,1) D．(0,)

222

【变式3】已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x,y)在直线l:yx3上移动，椭圆C以A,B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）

A.2424 B. C. D.

26261313

【变式4】将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）

A．对任意的a,b，e1e2 B．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2

C．对任意的a,b，e1e2 D．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2

x2y2【变式5】过椭圆C：221(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点Bab11在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范围是

. 23

【变式6】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1,F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF若|PF1|12，椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则e1e21的取值范围是 ；

第

6 页

共

6 页